Topología de Alexandrov

En topología general , una topología de Alexandrov es aquella en la que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos abiertos es abierta (mientras que la definición de topología solo exige esto para una familia finita ). De forma equivalente, una topología de Alexandrov es aquella cuyos conjuntos abiertos son los conjuntos superiores para algún preorden en el espacio.

Los espacios con topología de Alexandrov también se conocen como espacios discretos de Alexandrov o espacios finitamente generados . Este último nombre se debe a que su topología está determinada unívocamente por la familia de todos los subespacios finitos. Esto los convierte en una generalización de los espacios topológicos finitos .

Los espacios discretos de Alexandrov reciben su nombre del topólogo ruso Pavel Alexandrov . No deben confundirse con los espacios de Alexandrov de la geometría riemanniana introducidos por el matemático ruso Aleksandr Danilovich Aleksandrov .

Las topologías de Alexandrov tienen numerosas caracterizaciones. En un espacio topológico${\displaystyle X}$Las siguientes condiciones son equivalentes:

• Caracterizaciones de conjuntos abiertos y cerrados:
  • Una intersección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.
  • Una unión arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada.
• Caracterizaciones del vecindario:
  • Cada punto tiene un vecindario más pequeño .
  • El filtro de vecindad de cada punto se cierra bajo intersecciones arbitrarias.
• Caracterizaciones algebraicas interiores y de cierre:
  • El operador interior se distribuye sobre intersecciones arbitrarias de subconjuntos.
  • El operador de cierre se distribuye sobre uniones arbitrarias de subconjuntos.
• Caracterizaciones de preorden:
  • La topología es la mejor topología entre topologías en${\displaystyle X}$con la misma especialización preordenar .
  • Los conjuntos abiertos son precisamente los conjuntos superiores para algunos pedidos anticipados en${\displaystyle X}$.
• Generación finita y caracterizaciones basadas en la teoría de categorías:
  • El cierre de un subconjunto es la unión de los cierres de sus subconjuntos finitos (y, por lo tanto, también la unión de los cierres de sus subconjuntos unitarios).
  • La topología es coherente con los subespacios finitos de${\displaystyle X}$.
  • Los mapas de inclusión de los subespacios finitos de${\displaystyle X}$formar un fregadero final .
  • ${\displaystyle X}$está finitamente generado, es decir, está en la envoltura final de sus espacios finitos. (Esto significa que hay un sumidero final).${\displaystyle f_{i}:X_{i}\to X}$donde cada${\displaystyle X_{i}}$es un espacio topológico finito.)

Una topología de Alexandrov se asocia canónicamente a un conjunto preordenado tomando los conjuntos abiertos como los conjuntos superiores . Recíprocamente, el conjunto preordenado se puede recuperar de la topología de Alexandrov como su preorden de especialización . (Usamos la convención de que el preorden de especialización se define por${\displaystyle x\leq y}$cuando sea${\displaystyle x\in \operatorname {cl} \{y\},}$es decir, cuando cada conjunto abierto que contiene${\displaystyle x}$también contiene${\displaystyle y}$(para que coincida con nuestra convención de que los conjuntos abiertos en la topología de Alexandrov son los conjuntos superiores en lugar de los inferiores; también existe la convención opuesta).

El siguiente diccionario establece una relación entre las nociones de la teoría del orden y las nociones topológicas:

• Los conjuntos abiertos son conjuntos superiores ,
• Los conjuntos cerrados son conjuntos inferiores ,
• El interior de un subconjunto${\displaystyle S}$es el conjunto de elementos${\displaystyle x\in S}$de tal manera que${\displaystyle y\in S}$cuando sea${\displaystyle x\leq y}$.
• El cierre de un subconjunto es su cierre inferior .
• Un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$La relación entre dos espacios con topologías de Alexandrov es continua si y solo si preserva el orden como función entre los conjuntos preordenados subyacentes.

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , sea Top la categoría de espacios topológicos que consiste en espacios topológicos con morfismos continuos. Sea Alex su subcategoría completa que consiste en espacios discretos de Alexandrov. Sea Preord la categoría de conjuntos preordenados que consiste en conjuntos preordenados con morfismos que preservan el orden. La correspondencia anterior es un isomorfismo de categorías entre Alex y PreOrd .

Además, el functor${\displaystyle A:\mathbf {PreOrd} \to \mathbf {Top} }$que envía un conjunto preordenado a su espacio discreto de Alexandrov asociado es totalmente fiel y adjunto izquierdo al functor de preorden de especialización.${\displaystyle S:\mathbf {Top} \to \mathbf {PreOrd} }$, lo que convierte a Alex en una subcategoría correflectiva de Top . Además, los morfismos de reflexión${\displaystyle A(S(X))\to X}$, cuyos mapas subyacentes son las identidades (pero con topologías diferentes en el origen y el destino), son mapas continuos biyectivos, por lo tanto bimorfismos .

Un subespacio de un espacio discreto de Alexandrov es discreto de Alexandrov. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, un cociente de un espacio discreto de Alexandrov también lo es (porque las imágenes inversas son compatibles con uniones e intersecciones arbitrarias).

El producto de dos espacios discretos de Alexandrov es discreto de Alexandrov. ^{[ 2 ]} De manera más general, el producto de cajas de un número arbitrario de espacios discretos de Alexandrov es discreto de Alexandrov. ^{[ 3 ]}

Toda topología de Alexandrov es numerable en primer lugar (ya que cada punto tiene un vecindario mínimo).

Toda topología de Alexandrov es localmente compacta en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindarios compactos, ya que el vecindario más pequeño de un punto siempre es compacto. ^{[ 4 ]} De hecho, si${\displaystyle U}$es el vecindario (abierto) más pequeño de un punto${\displaystyle x}$, en${\displaystyle U}$sí mismo con la topología de subespacio cualquier cubierta abierta de${\displaystyle U}$contiene un vecindario de${\displaystyle x}$incluido en${\displaystyle U}$. Dicho vecindario es necesariamente igual a${\displaystyle U}$, por lo que la cubierta abierta admite${\displaystyle \{U\}}$como una subcubierta finita.

Toda topología de Alexandrov es localmente conectada por caminos . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Considerando que el operador interior y el operador de cierre son operadores modales en el álgebra booleana del conjunto potencia de un espacio discreto de Alexandroff, su construcción es un caso particular de la construcción de un álgebra modal a partir de un marco modal , es decir, a partir de un conjunto con una única relación binaria . (Esta última construcción es, a su vez, un caso particular de una construcción más general de un álgebra compleja a partir de una estructura relacional, es decir, un conjunto con relaciones definidas en él). La clase de álgebras modales que obtenemos en el caso de un conjunto preordenado es la clase de álgebras interiores : las abstracciones algebraicas de los espacios topológicos.

Los espacios de Alexandrov fueron introducidos por primera vez en 1937 por P.S. Alexandrov bajo el nombre de espacios discretos , donde proporcionó caracterizaciones en términos de conjuntos y vecindades. ^{[ 7 ]} El nombre de espacios discretos se utilizó posteriormente para espacios topológicos en los que cada subconjunto es abierto, y el concepto original quedó en el olvido en la literatura topológica. Por otro lado, los espacios de Alexandrov desempeñaron un papel relevante en los estudios pioneros de Øystein Ore sobre sistemas de cierre y sus relaciones con la teoría de retículos y la topología. ^{[ 8 ]}

Con el avance de la topología categórica en la década de 1980, se redescubrieron los espacios de Alexandrov cuando se aplicó el concepto de generación finita a la topología general y se adoptó el nombre de espacios finitamente generados . Los espacios de Alexandrov también se redescubrieron casi al mismo tiempo en el contexto de las topologías resultantes de la semántica denotacional y la teoría de dominios en informática .

En 1966, Michael C. McCord y AK Steiner observaron independientemente una equivalencia entre conjuntos parcialmente ordenados y espacios que eran precisamente las versiones T _{0 de los espacios que Alexandrov había introducido.} ^{[ 9 ] [ 10 ]} PT Johnstone se refirió a tales topologías como topologías de Alexandrov . ^{[ 11 ]} FG Arenas propuso independientemente este nombre para la versión general de estas topologías. ^{[ 12 ]} McCord también mostró que estos espacios son homotópicamente débiles equivalentes al complejo de orden del conjunto parcialmente ordenado correspondiente. Steiner demostró que la equivalencia es un isomorfismo de retículo contravariante que preserva las intersecciones y uniones arbitrarias, así como la complementación.

También era un resultado bien conocido en el campo de la lógica modal que existe una equivalencia entre espacios topológicos finitos y preórdenes en conjuntos finitos (los marcos modelo finitos para la lógica modal S4 ). A. Grzegorczyk observó que esto se extendía a una equivalencia entre lo que él denominó espacios totalmente distributivos y preórdenes. C. Naturman observó que estos espacios eran los espacios discretos de Alexandrov y extendió el resultado a una equivalencia categórica entre la categoría de espacios discretos de Alexandrov y aplicaciones continuas (abiertas), y la categoría de preórdenes y aplicaciones monótonas (acotadas), proporcionando las caracterizaciones de preorden, así como las caracterizaciones algebraicas de interior y cierre . ^{[ 13 ]}

FG Arenas retomó una investigación sistemática de estos espacios desde el punto de vista de la topología general, que había sido descuidada desde el artículo original de Alexandrov. ^{[ 12 ]}

• P -espacio , un espacio que satisface la condición más débil de que las intersecciones numerables de conjuntos abiertos son abiertas.