Norma de Alexiewicz

En matemáticas —específicamente, en teoría de la integración— la norma de Alexiewicz es una norma integral asociada a la integral de Henstock-Kurzweil . La norma de Alexiewicz convierte el espacio de funciones integrables de Henstock-Kurzweil en un espacio vectorial topológico que es abarrilado pero no completo . La norma de Alexiewicz recibe su nombre del matemático polaco Andrzej Alexiewicz , quien la introdujo en 1948.

Sea HK( R ) el espacio de todas las funciones f :  R  →  R que tienen una integral de Henstock–Kurzweil finita. Defina la seminorma de Alexiewicz de f  ∈ HK( R ) mediante

${\displaystyle \|f\|:=\sup \left\{\left|\int _{I}f\right|:I\subseteq \mathbb {R} {\text{ es un intervalo}}\right\}.}$

Esto define una seminorma sobre HK( R ); si se identifican funciones que son iguales en el sentido de Lebesgue en casi todas partes , entonces este procedimiento define una norma de buena fe sobre el cociente de HK( R ) por la relación de equivalencia de igualdad en casi todas partes. (Tenga en cuenta que la única función constante f :  R  →  R que es integrable es la que tiene un valor constante cero).

• La norma de Alexiewicz otorga a HK( R ) una topología con forma de barril pero incompleta.
• La norma de Alexiewicz tal como se define arriba es equivalente a la norma definida por

${\displaystyle \|f\|':=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\int _{-\infty }^{x}f\right|.}$

• La completitud de HK( R ) con respecto a la norma de Alexiewicz se suele denotar A( R ) y es un subespacio del espacio de distribuciones templadas , el dual del espacio de Schwartz . Más precisamente, A( R ) consiste en aquellas distribuciones templadas que son derivadas distribucionales de funciones en el conjunto

${\displaystyle \left\{F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\left|\,F{\text{ es continua, }}\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\lim _{x\to +\infty }F(x)\in \mathbb {R} \right.\right\}.}$

Por lo tanto, si f  ∈ A( R ), entonces f es una distribución templada y existe una función continua F en la colección anterior tal que

${\displaystyle \langle F',\varphi \rangle =-\langle F,\varphi '\rangle =-\int _{-\infty }^{+\infty }F\varphi '=\langle f,\varphi \rangle }$

para cada función de prueba C ^∞ con soporte compacto φ :  R  →  R . En este caso, se cumple que

${\displaystyle \|f\|'=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F(x)|=\|F\|_{\infty }.}$

• El operador de traslación es continuo respecto de la norma de Alexiewicz. Es decir, si para f  ∈ HK( R ) y x  ∈  R la traslación T _x f de f por x está definida por

${\displaystyle (T_{x}f)(y):=f(yx),}$

entonces

${\displaystyle \|T_{x}ff\|\to 0{\text{ como }}x\to 0.}$

• Alexiewicz, Andrzej (1948). "Funcionales lineales sobre funciones integrables con Denjoy". Colloquium Math . 1 (4): 289–293. doi : 10.4064/cm-1-4-289-293 . MR  0030120.
• Talvila, Erik (2006). "Continuidad en la norma de Alexiewicz". Math. Bohem . 131 (2): 189–196. doi : 10.21136/MB.2006.134092 . ISSN  0862-7959. MR  2242844. S2CID  56031790.