ficha de álgebra

La ecuación lineal${\displaystyle x-8=6}$puede modelarse con un positivo${\displaystyle x}$Se colocan ocho fichas de unidades negativas en el lado izquierdo de una hoja de papel y seis fichas de unidades positivas en el lado derecho. Para mantener la igualdad de los lados, cada acción debe realizarse en ambos lados. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, se pueden agregar ocho fichas de unidades positivas a ambos lados. ^{[ 1 ]} Se eliminan cero pares de fichas de unidades del lado izquierdo, dejando una ficha positiva.${\displaystyle x}$baldosa. El lado derecho tiene 14 baldosas de unidad positivas, por lo que${\displaystyle x=14}$.

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  Modelo de teselas de álgebra de${\displaystyle x-6=2}$
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  Modelo de teselas de álgebra de${\displaystyle x-6+6=2+6}$
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  Modelo de teselas de álgebra de${\displaystyle x=8}$

La ecuación${\displaystyle x+7=10}$puede modelarse con un positivo${\displaystyle x}$una ficha y siete fichas de unidad positiva en el lado izquierdo y 10 fichas de unidad positiva en el lado derecho. En lugar de agregar la misma cantidad de fichas a ambos lados, se puede restar la misma cantidad de fichas de ambos lados. Por ejemplo, se pueden quitar siete fichas de unidad positiva de ambos lados. Esto deja una ficha positiva${\displaystyle x}$una ficha en el lado izquierdo y tres fichas de unidad positiva en el lado derecho, por lo que${\displaystyle x=3}$. ^{[ 1 ]}

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  Modelo de teselas de álgebra de${\displaystyle x+7=10}$
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  Modelo de teselas de álgebra de${\displaystyle x=3}$

Al usar fichas de álgebra para multiplicar un monomio por otro , el estudiante primero debe formar un rectángulo donde la longitud de un monomio y el ancho del otro , de forma similar a cuando se multiplican números enteros con fichas de álgebra. Una vez que los lados del rectángulo están representados por las fichas de álgebra, se intenta determinar qué fichas de álgebra lo completan. Por ejemplo, si se tiene x × x, la única ficha de álgebra que completa el rectángulo es x² ^, que es la respuesta.

La multiplicación de binomios es similar a la multiplicación de monomios cuando se utilizan las fichas de álgebra. La multiplicación de binomios también puede pensarse como la creación de un rectángulo donde los factores son la longitud y el ancho . ^{[ 2 ]} Al igual que con los monomios , se establecerían los lados del rectángulo como los factores y luego se llenaría el rectángulo con las fichas de álgebra. ^{[ 2 ]} Este método de usar fichas de álgebra para multiplicar polinomios se conoce como el modelo de área ^{[ 3 ]} y también se puede aplicar a la multiplicación de monomios y binomios entre sí. Un ejemplo de multiplicación de binomios es (2x+1)×(x+2) y el primer paso que daría el estudiante es establecer dos fichas x positivas y una ficha unidad positiva para representar la longitud de un rectángulo y luego tomaría una ficha x positiva y dos fichas unidad positivas para representar el ancho . Estas dos filas de fichas crearían un espacio con forma de rectángulo que se puede rellenar con ciertas fichas. En este ejemplo, el rectángulo estaría compuesto por dos fichas positivas de x² ^, cinco fichas positivas de x y dos fichas positivas de unidad. Por lo tanto, la solución es 2x² ⁺ 5x + 2.

Para factorizar usando fichas de álgebra, se debe comenzar con un conjunto de fichas que el estudiante combina para formar un rectángulo. Esto puede requerir el uso de pares de ceros para formar la figura rectangular. Un ejemplo sería cuando se le da a alguien una ficha x² positiva ^, tres fichas x positivas y dos fichas unitarias positivas. El estudiante forma el rectángulo colocando la ficha x² ^en la esquina superior derecha, luego dos fichas x a la derecha de la ficha x² ^, una ficha x debajo de la ficha x² ^y dos fichas unitarias en la esquina inferior derecha. Al colocar las fichas de álgebra a los lados de este rectángulo, podemos determinar que necesitamos una ficha x positiva y una ficha unitaria positiva para la longitud y luego una ficha x positiva y dos fichas unitarias positivas para el ancho . Esto significa que los dos factores son${\displaystyle x+1}$y${\displaystyle x+2}$. ^{[ 1 ]} En cierto sentido, este es el procedimiento inverso al de multiplicar polinomios .

Los defensores argumentan que las fichas proporcionan una interpretación geométrica de conceptos algebraicos, particularmente para la propiedad distributiva y la factorización. Al vincular expresiones algebraicas con el área de un rectángulo , los estudiantes pueden visualizar por qué${\displaystyle (x+1)^{2}}$da como resultado un trinomio (${\displaystyle x^{2}+2x+1}$) en lugar del error común${\displaystyle x^{2}+1}$El uso de colores distintos para los valores positivos y negativos también refuerza el concepto de pares cero en las operaciones con números enteros.

A pesar de su utilidad, los educadores matemáticos han señalado varias limitaciones en el modelo:

• Asignación de variables: Un obstáculo conceptual común es que los estudiantes pueden intentar medir la ficha "x" con las fichas de unidades. Si la ficha "x" se fabrica para tener exactamente 5 unidades de largo, los estudiantes pueden concluir erróneamente que${\displaystyle x=5}$Siempre. Para mitigar esto, las fichas de álgebra estándar suelen diseñarse con longitudes que no son múltiplos enteros del lado unitario (por ejemplo, 5,25 cm).
• Dimensionalidad: El modelo representa eficazmente expresiones lineales (1D) y cuadráticas (2D), pero resulta difícil de manejar para expresiones cúbicas (que requieren bloques 3D) e imposible para polinomios de cuarto grado o superior, ya que no pueden representarse en el espacio físico.
• Área negativa: Si bien las fichas pueden representar términos negativos mediante el color, el concepto geométrico de "área negativa" es físicamente imposible, lo que puede confundir a los estudiantes que intentan conciliar el objeto físico con las reglas de la geometría del mundo real.