Número algebraico

En matemáticas , un número algebraico es un número que es raíz de un polinomio no nulo en una variable con coeficientes enteros (o, equivalentemente, racionales ). Por ejemplo, la proporción áurea . $(1+{\sqrt {5}})/2$ es un número algebraico, porque es una raíz del polinomio. $x^{2}-x-1$ , es decir, una solución a la ecuación $x^{2}-x-1=0$ y el número complejo $1+i$ es algebraico porque es una raíz del polinomio $x^{4}+4$ Los números algebraicos incluyen todos los números enteros , los números racionales y las raíces enésimas de los números enteros .

Los números complejos algebraicos son cerrados bajo la suma, la resta, la multiplicación y la división, y por lo tanto forman un cuerpo , denotado ${\overline {\mathbb {Q} }}$ El conjunto de números reales algebraicos ${\overline {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R}$ También es un campo.

Los números que no son algebraicos se denominan trascendentales e incluyen $π$ y $e$ . Existen infinitos números algebraicos numerables, por lo que casi todos los números reales (o complejos) (en el sentido de la medida de Lebesgue ) son trascendentales.

Ejemplos

Todos los números racionales son algebraicos. Cualquier número racional, expresado como el cociente de un entero $a y un$ número natural $b$ (distinto de cero) , satisface la definición anterior, porque $x = a / b es$ la raíz de un polinomio distinto de cero, a saber $,$ $bx - a$ . ^{[ 1 ]}
Los números irracionales cuadráticos , soluciones irracionales de un polinomio cuadrático ^ax²+ bx + c con coeficientes enteros a , b y c , son números algebraicos. Si el polinomio cuadrático es mónico ( a = 1 ), las raíces se califican además como enteros cuadráticos .
- $Los$ enteros gaussianos , números complejos $a + bi$ para los cuales tanto $a$ como $b$ son enteros, también son enteros cuadráticos. Esto se debe a que $a$ $+ bi y$ a $- bi son$ las dos raíces de la ecuación cuadrática $x² - 2ax + a² + b² .$
Un número construible puede construirse a partir de una longitud unitaria dada utilizando una regla y un compás. Incluye todas las raíces irracionales cuadráticas, todos los números racionales y todos los números que pueden formarse a partir de estos utilizando las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. (Al designar direcciones cardinales para +1, −1, + $i$ y $-i$ , números complejos como $3+i{\sqrt {2}}$ se consideran construibles.)
Cualquier expresión formada a partir de números algebraicos utilizando cualquier combinación finita de las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces enésimas $da$ como resultado otro número algebraico.
Raíces de polinomios que no pueden expresarse mediante las operaciones aritméticas básicas ni extraer raíces $enésimas$ (como las raíces de $x⁵ - x + 1$ ). Esto ocurre con muchos , pero no con todos $,$ los polinomios de grado 5 o superior.
Valores de funciones trigonométricas de múltiplos racionales de $π$ (excepto cuando no están definidos): por ejemplo, $cos ⁠ π / 7 ⁠$ , $cos ⁠ 3 π / 7 ⁠$ y $cos ⁠ 5 π / 7 ⁠$ satisfacen $8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0$ . Este polinomio es irreducible sobre los racionales y, por lo tanto, los tres cosenos son números algebraicos conjugados . Asimismo, $tan ⁠ 3 π / 16 ⁠$ , $tan ⁠ 7 π / 16 ⁠$ , $tan ⁠ 11 π / 16 ⁠$ y $tan ⁠ 15 π / 16 ⁠$ satisfacen el polinomio irreducible $x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0$ , y por lo tanto son enteros algebraicos conjugados . Esto es equivalente a ángulos que, cuando se miden en grados, tienen números racionales. ^{[ 2 ]}
Algunos números irracionales son algebraicos, pero no todos:
- Los números ${\sqrt {2}}$ y ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ son algebraicas ya que son raíces de los polinomios $x 2 - 2$ y $8 x 3 - 3$ , respectivamente.
- La proporción áurea $φ$ es algebraica ya que es una raíz del polinomio $x²$ $- x - 1$ .
- Los números $π$ y e no son números algebraicos (véase el teorema de Lindemann-Weierstrass ). ^{[ 3 ]}

Propiedades

Números algebraicos en el plano complejo coloreados según su grado (naranja brillante/rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4). Los puntos más grandes corresponden a polinomios con coeficientes enteros más pequeños.

Si un polinomio con coeficientes racionales se multiplica por el mínimo común denominador , el polinomio resultante con coeficientes enteros tiene las mismas raíces. Esto demuestra que un número algebraico puede definirse de forma equivalente como una raíz de un polinomio con coeficientes enteros o racionales.
Dado un número algebraico, existe un único polinomio mónico con coeficientes racionales de grado mínimo que tiene al número como raíz. Este polinomio se denomina su polinomio mínimo . Si su polinomio mínimo tiene grado $n$ , entonces se dice que el número algebraico es de grado $n$ . Por ejemplo, todos los números racionales tienen grado 1, y un número algebraico de grado 2 es un número irracional cuadrático .
Los números algebraicos son densos en los números reales . Esto se deduce del hecho de que contienen los números racionales, que a su vez son densos en los números reales.
El conjunto de los números algebraicos es numerable, ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} y, por lo tanto, su medida de Lebesgue como subconjunto de los números complejos es 0 (esencialmente, los números algebraicos no ocupan espacio en los números complejos). Es decir, "casi todos" los números reales y complejos son trascendentales.
Todos los números algebraicos son computables y, por lo tanto, definibles y aritméticos .
Para los números reales $a$ y $b$ , el número complejo $a + bi$ es algebraico si y solo si tanto $a$ como $b$ son algebraicos. ^{[ 6 ]}

Grado de extensiones simples de los racionales como criterio de algebraicidad

Para cualquier ⁠ $\alpha$ ⁠ , la simple extensión de los racionales por ⁠ $\alpha$ ⁠ , denotado por $\mathbb {Q} (\alpha )$ (cuyos elementos son el $f(\alpha )$ para $f$ una función racional con coeficientes racionales que se define en $\alpha$ ), es de grado finito si y solo si ⁠ $\alpha$ es un número algebraico.

La condición de grado finito significa que hay un conjunto fijo de números. $\{a_{i}\}$ de cardinalidad finita $k$ con elementos en $\mathbb {Q} (\alpha )$ de tal manera que $\textstyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q}$ ; es decir, cada elemento de $\mathbb {Q} (\alpha )$ se puede escribir como una suma $\textstyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}$ para algunos coeficientes racionales $\{q_{i}\}$ .

Desde el $a_{i}$ son ellos mismos miembros de $\mathbb {Q} (\alpha )$ , cada uno puede expresarse como sumas de productos de números racionales y potencias de ⁠ $\alpha$ ⁠ , y por lo tanto esta condición es equivalente al requisito de que para algún finito $n$ , $\mathbb {Q} (\alpha )={\biggl \lbrace }\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}\mathbin {\bigg |} q_{i}\in \mathbb {Q} {\biggr \rbrace }.$

Esta última condición es equivalente a $\alpha ^{n+1}$ , a su vez miembro de $\mathbb {Q} (\alpha )$ , siendo expresable como $\textstyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}$ para algunos racionales $\{q_{i}\}$ , entonces $\textstyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{in}$ o, equivalentemente , $\alpha$ es una raíz de $\textstyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{in}$ ; es decir, un número algebraico con un polinomio mínimo de grado no mayor que $2n+1$ .

De manera similar, se puede demostrar que para cualquier conjunto finito de números algebraicos $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ ... $\alpha _{n}$ , la extensión de campo $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ tiene un grado finito.

Campo

La suma, la diferencia, el producto y el cociente (si el denominador no es cero) de dos números algebraicos son nuevamente algebraicos:

Para cualesquiera dos números algebraicos $\alpha$ , $\beta$ ⁠ , esto se deduce directamente del hecho de que la extensión simple $\mathbb {Q} (\gamma )$ , para $\gamma$ ser o $\alfa +\beta$ , $\alpha -\beta$ , $\alpha \beta$ o (para $\beta \neq 0$ ) $\alfa /\beta$ es un subespacio lineal de la extensión de campo de grado finito $\mathbb {Q} (\alpha ,\beta )$ y por lo tanto tiene un grado finito en sí mismo, de lo cual se deduce (como se muestra arriba ) que $\gamma$ es algebraico.

Una forma alternativa de mostrar esto es de manera constructiva, utilizando el resultante .

Los números algebraicos forman así un cuerpo ^{[ 7 ].} ${\overline {\mathbb {Q} }}$ (a veces denotado por $\mathbb {A}$ , pero eso suele referirse al anillo de Adele ).

Cierre algebraico

Toda raíz de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números algebraicos es, a su vez, algebraica. Esto se puede reformular diciendo que el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado . De hecho, es el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los números racionales, por lo que se le denomina clausura algebraica de los racionales.

Que el campo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado se puede demostrar de la siguiente manera: Sea ⁠ $\beta$ ser una raíz de un polinomio $\alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}$ con coeficientes que son números algebraicos $\alpha _{0}$ , $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ ... $\alpha _{n}$ La extensión del campo $\mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ entonces tiene un grado finito con respecto a $\mathbb {Q}$ La extensión simple $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )$ entonces tiene un grado finito con respecto a $\mathbb {Q} ^{\prime }$ (ya que todas las potencias de ⁠ $\beta$ ⁠ puede expresarse mediante potencias de hasta $\beta ^{n-1}$ ). Por lo tanto, $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ también tiene un grado finito con respecto a $\mathbb {Q}$ . Desde $\mathbb {Q} (\beta )$ es un subespacio lineal de $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )$ , también debe tener un grado finito con respecto a $\mathbb {Q}$ , entonces $\beta$ Debe ser un número algebraico.

Campos relacionados

Números definidos por radicales

Cualquier número que se pueda obtener a partir de los enteros mediante un número finito de sumas , restas , multiplicaciones , divisiones y extrayendo raíces (posiblemente complejas) de orden $n, donde$ $n$ es un entero positivo, es algebraico. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen números algebraicos que no se pueden obtener de esta manera. Estos números son raíces de polinomios de grado 5 o superior, resultado de la teoría de Galois (véanse las ecuaciones quínticas y el teorema de Abel-Ruffini ). Por ejemplo, la ecuación:

x^{5}-x-1=0

tiene una única raíz real, ≈ 1,1673, que no puede expresarse únicamente en términos de radicales y operaciones aritméticas.

Número de forma cerrada

Los números algebraicos son todos aquellos que pueden definirse explícita o implícitamente en términos de polinomios, comenzando por los números racionales. Esto se puede generalizar a " números de forma cerrada ", que pueden definirse de diversas maneras. En términos generales, todos los números que pueden definirse explícita o implícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos se denominan " números elementales ", e incluyen los números algebraicos, además de algunos números trascendentales. En términos más específicos, se pueden considerar los números definidos explícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos; esto no incluye todos los números algebraicos, pero sí algunos números trascendentales simples como $e$ o ln 2 .

Números enteros algebraicos

Visualización del cuerpo (contable) de los números algebraicos en el plano complejo. Los colores indican el coeficiente entero principal del polinomio del que el número es raíz (rojo = 1, es decir, los enteros algebraicos; verde = 2; azul = 3; amarillo = 4...). Los puntos se hacen más pequeños a medida que aumentan los demás coeficientes y el número de términos del polinomio. La vista muestra los enteros 0, 1 y 2 en la parte inferior derecha, y +i cerca de la parte superior.

Un entero algebraico es un número algebraico que es raíz de un polinomio con coeficientes enteros cuyo coeficiente principal es 1 (un polinomio mónico ). Ejemplos de enteros algebraicos son: $5+13{\sqrt {2}},$ $2-6i,$ y ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ Por lo tanto, los enteros algebraicos constituyen un superconjunto propio de los enteros , ya que estos últimos son las raíces de polinomios mónicos $x - k$ para todo $k\in \mathbb {Z}$ En este sentido, los enteros algebraicos son a los números algebraicos lo que los enteros son a los números racionales .

La suma, la diferencia y el producto de enteros algebraicos son también enteros algebraicos, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo . El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los enteros, y porque los enteros algebraicos en cualquier cuerpo numérico son en muchos sentidos análogos a los enteros. Si $K$ es un cuerpo numérico, su anillo de enteros es el subanillo de enteros algebraicos en $K$ , y frecuentemente se denota como $O K.$ Estos son los ejemplos prototípicos de dominios de Dedekind .

Clases especiales

Notas

↑ Algunos de los siguientes ejemplos provienen de Hardy y Wright (1972 , págs. 159-160, 178-179) .
↑ Garibaldi 2008 .
↑ Además, el teorema de Liouville puede usarse para "producir tantos ejemplos de números trascendentales como queramos", cf. Hardy y Wright (1972 , pág. 161 y ss.)
↑ Hardy y Wright 1972 , pág. 160, 2008:205.
↑ Niven 1956 , Teorema 7.5..
↑ Niven 1956 , Corolario 7.3..
↑ Niven 1956 , pág. 92.

Referencias

Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
Garibaldi, Skip (junio de 2008), "Algo más de lo que los gobernadores necesitan saber sobre trigonometría", Mathematics Magazine , 81 (3): 191–200 , doi : 10.1080/0025570x.2008.11953548 , JSTOR 27643106
Hardy, Godfrey Harold ; Wright, Edward M. (1972), Introducción a la teoría de los números (5.ª ed.), Oxford: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990) [1.ª ed. 1982], A Classical Introduction to Modern Number Theory (2.ª ed.), Berlín: Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
Lang, Serge (2002) [1.ª ed. 1965], Álgebra (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Niven, Ivan M. (1956), Números irracionales , Asociación Matemática de América
Ore, Øystein (1948), Teoría de los números y su historia , Nueva York: McGraw-Hill

[1] Algunos de los siguientes ejemplos provienen de Hardy y Wright (1972 , págs. 159-160, 178-179) .

[FOOTNOTEGaribaldi2008-2] Garibaldi 2008 .

[3] Además, el teorema de Liouville puede usarse para "producir tantos ejemplos de números trascendentales como queramos", cf. Hardy y Wright (1972 , pág. 161 y ss.)

[FOOTNOTEHardyWright19721602008:205-4] Hardy y Wright 1972 , pág. 160, 2008:205.

[FOOTNOTENiven1956Theorem_7.5.-5] Niven 1956 , Teorema 7.5..

[FOOTNOTENiven1956Corollary_7.3.-6] Niven 1956 , Corolario 7.3..

[FOOTNOTENiven195692-7] Niven 1956 , pág. 92.

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