Refrigeración algorítmica

El enfriamiento algorítmico puede analizarse utilizando los puntos de vista de la termodinámica clásica y cuántica.

La intuición física para esta familia de algoritmos proviene de la termodinámica clásica . ^{[ 3 ]}

La intuición para esta familia de algoritmos puede provenir de una extensión de la solución de Von-Neumann para el problema de obtener resultados justos de una moneda sesgada . ^{[ 5 ]} En este enfoque de enfriamiento algorítmico, el sesgo de los cúbits es simplemente un sesgo de probabilidad, o la "injusticia" de una moneda.

La corrección de errores cuánticos es un algoritmo cuántico para la protección contra errores. El algoritmo opera sobre los cúbits relevantes (que operan dentro del cálculo) y requiere un suministro de nuevos cúbits puros para cada iteración. Este requisito puede flexibilizarse ^{[ 4 ] [ 8 ]} a una pureza superior a un cierto umbral, en lugar de requerir cúbits totalmente puros. Para ello, se puede utilizar el enfriamiento algorítmico para producir cúbits con la pureza deseada para la corrección de errores cuánticos.

La computación de conjunto es un modelo computacional que utiliza un número macroscópico de computadoras idénticas. Cada computadora contiene una cierta cantidad de cúbits, y las operaciones computacionales se realizan simultáneamente en todas ellas. El resultado de la computación se obtiene midiendo el estado del conjunto completo, que corresponde al promedio de la salida de cada computadora. ^{[ 9 ]} Dado que el número de computadoras es macroscópico, la señal de salida es más fácil de detectar y medir que la señal de salida de cada computadora individual.

Este modelo se utiliza ampliamente en la computación cuántica por RMN : cada computadora está representada por una molécula única (idéntica), y los cúbits de cada computadora son los espines nucleares de sus átomos . La salida obtenida (promediada) es una señal magnética detectable .

La espectroscopia de resonancia magnética nuclear (a veces llamada ERM - espectroscopia de resonancia magnética) es una técnica no invasiva relacionada con la resonancia magnética (RM ) para analizar cambios metabólicos in vivo (del latín: "dentro del organismo vivo"), que potencialmente puede utilizarse para diagnosticar tumores cerebrales , enfermedad de Parkinson , depresión , etc. Utiliza algunas propiedades magnéticas de los metabolitos relevantes para medir sus concentraciones en el cuerpo, las cuales están correlacionadas con ciertas enfermedades. Por ejemplo, la diferencia entre las concentraciones de los metabolitos glutamato y glutamina puede vincularse con algunas etapas de enfermedades neurodegenerativas , como la enfermedad de Alzheimer . ^{[ 10 ]}

Algunos usos de la espectroscopia de resonancia magnética (ERM) se centran en los átomos de carbono de los metabolitos (véase resonancia magnética nuclear de carbono-13 ) . Una razón importante para ello es la presencia de carbono en una gran proporción de todos los metabolitos analizados. Otra razón es la capacidad de marcar ciertos metabolitos con el isótopo ^13C , que es más fácil de medir que los átomos de hidrógeno que se utilizan habitualmente, principalmente debido a sus propiedades magnéticas (como su relación giromagnética ).

En la espectroscopia de resonancia magnética (MRS), se requiere que los espines nucleares de los átomos de los metabolitos tengan un cierto grado de polarización para que la espectroscopia sea exitosa. El enfriamiento algorítmico se puede aplicar ^{[ 7 ]} in vivo , aumentando la resolución y la precisión de la MRS. Se ha demostrado que las implementaciones (no in vivo) del enfriamiento algorítmico en metabolitos con el isótopo ^13C aumentan la polarización del ^13C en aminoácidos ^{[ 11 ]} y otros metabolitos. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

La espectroscopia de resonancia magnética (MRS) permite obtener información bioquímica sobre ciertos tejidos corporales de forma no invasiva. Esto implica que el procedimiento debe realizarse a temperatura ambiente . Algunos métodos para aumentar la polarización de los espines (como la hiperpolarización y, en particular, la polarización nuclear dinámica ) no pueden operar en estas condiciones, ya que requieren un entorno frío (un valor típico es 1 K, aproximadamente -272 grados Celsius ). Por otro lado, el enfriamiento algorítmico puede operarse a temperatura ambiente y utilizarse en MRS in vivo ^{[ 7 ]} , mientras que los métodos que requieren temperaturas más bajas pueden emplearse en biopsias , fuera del organismo vivo.

Monedas${\displaystyle B,C}$Se utilizan para la operación C-NOT , también conocida como XOR (o exclusivo). La operación se aplica de la siguiente manera:${\displaystyle A_{\text{new}}=A,B_{\text{new}}=B\oplus C,C_{\text{new}}=C}$, lo que significa que${\displaystyle B\oplus C}$se calcula y reemplaza el valor anterior de${\displaystyle B}$, y${\displaystyle A,C}$permanecen sin cambios. Más específicamente, se aplica la siguiente operación:

• Si el resultado de la moneda${\displaystyle C}$es 1:
  • Lanza la moneda${\displaystyle B}$sin mirar el resultado
• De lo contrario (el resultado de la moneda)${\displaystyle C}$es 0):
  • No haga nada (aún sin mirar el resultado de${\displaystyle B}$)

Ahora, el resultado de la moneda${\displaystyle B_{\text{new}}}$se comprueba (sin mirar${\displaystyle A_{\text{new}},C_{\text{new}}}$). Clásicamente, esto significa que el resultado de la moneda${\displaystyle C}$debe ser "olvidado" (no se puede usar más). Esto es algo problemático clásicamente, porque el resultado de la moneda${\displaystyle C}$ya no es probabilístico; sin embargo, los operadores cuánticos equivalentes (que son los que se utilizan realmente en las realizaciones e implementaciones del algoritmo) son capaces de hacerlo. ^{[ 14 ]}

Una vez finalizada la operación C-NOT, el sesgo de la moneda${\displaystyle C_{\text{new}}}$se calcula utilizando la probabilidad condicional :

1. Si${\displaystyle B_{\text{new}}=0}$(significado${\displaystyle B=C}$):$${\displaystyle P(C_{\text{new}}=0|B=C)={\frac {P(B=C=0)}{P(B=C)}}={\frac {\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}{{\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\varepsilon )^{2}}{4}}}}={\frac {\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}{\frac {1+\varepsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1+{\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}}{2}}.}$$Por lo tanto, el nuevo sesgo de la moneda${\displaystyle C_{\text{new}}}$es${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}}$.
2. Si${\displaystyle B_{\text{new}}=1}$(significado${\displaystyle B\neq C}$):$${\displaystyle P(C_{\text{new}}=0|B\neq C)={\frac {P(C=0,B=1)}{P(B\neq C)}}={\frac {{\frac {1+\varepsilon }{2}}{\frac {1-\varepsilon }{2}}}{{\frac {1+\varepsilon }{2}}{\frac {1-\varepsilon }{2}}+{\frac {1-\varepsilon }{2}}{\frac {1+\varepsilon }{2}}}}={\frac {\frac {1-\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$Por lo tanto, el nuevo sesgo de la moneda${\displaystyle C_{\text{new}}}$es${\displaystyle 0}$.

Monedas${\displaystyle A_{\text{new}},B_{\text{new}},C_{\text{new}}}$Se utilizan para la operación C- SWAP . La operación se aplica de la siguiente manera:$${\displaystyle A'=A_{\text{new}}B_{\text{new}}+{\overline {B_{\text{new}}}}C_{\text{new}},\;B'=B_{\text{new}},\;C'=A_{\text{new}}{\overline {B_{\text{new}}}}+B_{\text{new}}C_{\text{new}},}$$lo que significa que${\displaystyle A_{\text{new}},C_{\text{new}}}$se intercambian si${\displaystyle B_{\text{new}}=0}$.

Una vez finalizada la operación C-SWAP:

1. Si${\displaystyle B_{\text{new}}=0}$: monedas${\displaystyle A_{\text{new}}}$y${\displaystyle C_{\text{new}}}$han sido intercambiados, por lo tanto la moneda${\displaystyle A'}$ahora es${\textstyle {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}}$-sesgado y moneda${\displaystyle C'}$es${\displaystyle \varepsilon }$-sesgado.
2. Demás (${\displaystyle B_{\text{new}}=1}$): moneda${\displaystyle A'}$permanece sin cambios (todavía de sesgo)${\displaystyle \varepsilon }$) y moneda${\displaystyle C'}$permanece con sesgo${\displaystyle 0}$En este caso, moneda${\displaystyle C'}$puede descartarse del sistema, ya que está demasiado "caliente" (su sesgo es demasiado bajo o, equivalentemente, su entropía es demasiado alta).

El sesgo promedio de la moneda${\displaystyle A'}$se puede calcular observando esos dos casos, utilizando el sesgo final en cada caso y la probabilidad de cada caso: $${\displaystyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}=P(B_{\text{new}}=0)\cdot {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}+P(B_{\text{new}}=1)\cdot \varepsilon =\left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\varepsilon )^{2}}{4}}\right)\cdot {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}+\left({\frac {1+\varepsilon }{2}}{\frac {1-\varepsilon }{2}}+{\frac {1-\varepsilon }{2}}{\frac {1+\varepsilon }{2}}\right)\cdot \varepsilon ={\frac {3\varepsilon }{2}}-{\frac {\varepsilon ^{3}}{2}}}$$ Utilizando la aproximación${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$, el nuevo sesgo promedio de la moneda${\displaystyle A'}$es${\textstyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}={\frac {3}{2}}\varepsilon }$Por lo tanto, estos dos pasos aumentan la polarización de la moneda.${\displaystyle A}$de término medio.

El algoritmo se puede escribir utilizando operaciones cuánticas en cúbits, a diferencia del tratamiento clásico. En particular, los pasos C-NOT y C-SWAP se pueden reemplazar por un único operador cuántico unitario que opera en los 3 cúbits. ^{[ 14 ]} Aunque esta operación cambia cúbits${\displaystyle B,C}$De una manera diferente a los dos pasos clásicos, produce el mismo sesgo final para el cúbit.${\displaystyle A}$El operador${\displaystyle U}$puede definirse de forma única por su acción sobre la base computacional del espacio de Hilbert de 3 cúbits:

• ${\displaystyle |000\rangle \mapsto |000\rangle ,}$
• ${\displaystyle |001\rangle \mapsto |001\rangle ,}$
• ${\displaystyle |010\rangle \mapsto |010\rangle ,}$
• ${\displaystyle |011\rangle \mapsto |100\rangle ,}$
• ${\displaystyle |100\rangle \mapsto |011\rangle ,}$
• ${\displaystyle |101\rangle \mapsto |101\rangle ,}$
• ${\displaystyle |110\rangle \mapsto |110\rangle ,}$
• ${\displaystyle |111\rangle \mapsto |111\rangle .}$

En forma matricial, este operador es la matriz identidad de tamaño 8, excepto que la cuarta y la quinta fila están intercambiadas. El resultado de esta operación se puede obtener escribiendo el estado producto de los 3 cúbits,${\displaystyle \rho _{A,B,C}=\rho _{A}\otimes \rho _{B}\otimes \rho _{C}}$y aplicando${\displaystyle U}$sobre él. Después, el sesgo del cúbito${\displaystyle A}$se puede calcular proyectando su estado sobre el estado${\displaystyle |0\rangle }$(sin proyectar cúbits)${\displaystyle B,C}$) y tomando la traza del resultado (véase la medición de la matriz de densidad ): $${\displaystyle {\frac {1+\varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}}{2}}=\operatorname {tr} [(P_{0}\otimes I\otimes I)(U\rho _{A,B,C}U^{\dagger })]={\frac {1+{\frac {3\varepsilon }{2}}-{\frac {\varepsilon ^{3}}{2}}}{2}},}$$dónde${\displaystyle P_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}=|0\rangle \langle 0|}$es la proyección sobre el estado${\displaystyle |0\rangle }$.

Nuevamente, utilizando la aproximación${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$, el nuevo sesgo promedio de la moneda${\displaystyle A}$es${\textstyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}={\frac {3}{2}}\varepsilon }$.

El contacto que se establece entre el cúbit de reinicio y el baño térmico se puede modelar de varias maneras posibles:

1. Una interacción física entre dos sistemas termodinámicos, que finalmente resulta en un cúbit reiniciado cuya temperatura es idéntica a la temperatura del baño (equivalentemente, con un sesgo igual al sesgo de los cúbits en el baño,${\displaystyle \varepsilon _{b}}$).
2. Un trazado matemático en el cúbit de reinicio, seguido de la toma del sistema en un estado de producto con un nuevo cúbit fresco del baño. Esto significa que perdemos el cúbit de reinicio anterior y ganamos uno nuevo refrescado. Formalmente, esto se puede escribir como${\displaystyle \rho _{\text{new}}=\operatorname {tr} _{C}(\rho )\otimes \rho _{\varepsilon _{b}}}$, dónde${\displaystyle \rho _{\text{new}}}$es la nueva matriz de densidad (después de que se realiza la operación),${\displaystyle \operatorname {tr} _{C}(\rho )}$es la operación de rastreo parcial en el cúbit de reinicio${\displaystyle C}$, y${\displaystyle \rho _{\varepsilon _{b}}}$es la matriz de densidad que describe un (nuevo) cúbit del baño, con sesgo${\displaystyle \varepsilon _{b}}$.

En ambos casos, el resultado es un cúbit reiniciado cuyo sesgo es idéntico al de los cúbits en el baño. Además, el cúbit reiniciado resultante no está correlacionado con los demás, independientemente de las correlaciones que existían entre ellos antes de la actualización. Por lo tanto, la actualización puede considerarse como el descarte de la información del cúbit reiniciado actual y la obtención de información sobre uno nuevo del baño.

El objetivo de este paso es redistribuir reversiblemente la entropía de todos los cúbits, de modo que los sesgos de los cúbits estén en orden descendente (o no ascendente). La operación se realiza de forma reversible para evitar que la entropía de todo el sistema aumente (ya que no puede disminuir en un sistema cerrado, véase entropía). En términos de temperatura, este paso reorganiza los cúbits en orden ascendente de temperatura, de modo que los cúbits reiniciados sean los más calientes. En el ejemplo de los tres cúbits${\displaystyle A,B,C}$, esto significa que después de que se realiza la compresión, el sesgo del cúbit${\displaystyle A}$es el más alto y el sesgo de${\displaystyle C}$es el más bajo. Además, la compresión se utiliza para el enfriamiento de los cúbits computacionales.

El estado del sistema se denotará por${\displaystyle (\varepsilon _{A},\varepsilon _{B},\varepsilon _{C})}$si los cúbits${\displaystyle A,B,C}$no están correlacionados entre sí (es decir, si el sistema está en un estado de producto ) y sus sesgos correspondientes son${\displaystyle \varepsilon _{A},\varepsilon _{B},\varepsilon _{C}}$.

La compresión puede describirse como una operación de ordenación en las entradas diagonales de la matriz de densidad que describe el sistema. Por ejemplo, si el estado del sistema después de un cierto paso de reinicio es${\displaystyle (2\varepsilon _{b},0,\varepsilon _{b})}$, entonces la compresión opera sobre el estado de la siguiente manera:

$${\displaystyle \rho _{ABC}={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\end{pmatrix}}\xrightarrow {\text{compression}} \rho _{ABC}'={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\end{pmatrix}}}$$

Esta notación denota una matriz diagonal cuyos elementos diagonales se enumeran dentro de los paréntesis. Las matrices de densidad${\displaystyle \rho _{ABC},\rho _{ABC}'}$representan el estado del sistema (incluidas las posibles correlaciones entre los cúbits) antes y después del paso de compresión, respectivamente. En las notaciones anteriores, el estado después de la compresión es${\displaystyle (2\varepsilon _{b},\varepsilon _{b},0)}$.

Esta operación de ordenación se utiliza para la reorganización de los cúbits en orden descendente de sesgo. ^{[ 15 ] [ 4 ]} Como en el ejemplo, en algunos casos la operación de ordenación puede describirse mediante una operación más simple, como el intercambio . Sin embargo, la forma general de la operación de compresión es una operación de ordenación sobre las entradas diagonales de la matriz de densidad.

Para una demostración intuitiva del paso de compresión, a continuación se presenta el flujo del algoritmo en la primera ronda:

• Primera iteración:
  • Después del paso de actualización, el estado es${\displaystyle (0,0,\varepsilon _{b})}$.
  • Después del paso de compresión (que intercambia cúbits)${\displaystyle A,C}$), el estado es${\displaystyle (\varepsilon _{b},0,0)}$.
• Segunda iteración:
  • Después del paso de actualización, el estado es${\displaystyle (\varepsilon _{b},0,\varepsilon _{b})}$.
  • Después del paso de compresión (que intercambia cúbits)${\displaystyle B,C}$), el estado es${\displaystyle (\varepsilon _{b},\varepsilon _{b},0)}$.
• Tercera iteración:
  • Después del paso de actualización, el estado es${\displaystyle (\varepsilon _{b},\varepsilon _{b},\varepsilon _{b})}$.
  • Después del paso de compresión (que aumenta el sesgo del cúbito)${\displaystyle A}$), los sesgos de los cúbits son${\textstyle {\frac {3\varepsilon _{b}}{2}}-{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}}+{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}}+{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}}}$, que puede aproximarse (en orden principal) por${\textstyle {\frac {3\varepsilon _{b}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}}}$Aquí, cada sesgo se define de forma independiente como el sesgo del cúbit correspondiente al descartar el resto del sistema (utilizando la traza parcial ), incluso cuando existen correlaciones entre ellos. Por lo tanto, esta notación no puede describir completamente el sistema, sino que solo puede utilizarse como una demostración intuitiva de los pasos del algoritmo.

Después de que termine la primera ronda, el sesgo del cúbit de reinicio (${\textstyle {\frac {\varepsilon _{b}}{2}}+{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}}}$) es menor que el sesgo del baño térmico (${\displaystyle \varepsilon _{b}}$Esto significa que en el siguiente paso de actualización (en la segunda ronda del algoritmo), el cúbit reiniciado será reemplazado por un cúbit nuevo con sesgo.${\displaystyle \varepsilon _{b}}$Esto enfría todo el sistema, de forma similar a los pasos de actualización anteriores. Posteriormente, el algoritmo continúa de manera similar.

El número de rondas no está limitado: dado que los sesgos de los cúbits de reinicio alcanzan asintóticamente el sesgo del baño después de cada ronda, el sesgo del cúbit computacional objetivo alcanza asintóticamente su límite a medida que avanza el algoritmo. ^{[ 2 ] [ 15 ]} El cúbit objetivo es el cúbit computacional que el algoritmo pretende enfriar más. El "límite de enfriamiento" (el sesgo máximo que puede alcanzar el cúbit objetivo) depende del sesgo del baño y del número de cúbits de cada tipo en el sistema. Si el número de cúbits computacionales (excluyendo el objetivo) es${\displaystyle n'}$y el número de cúbits de reinicio es${\displaystyle m}$, entonces el límite de enfriamiento es${\textstyle \varepsilon _{\max }={\frac {(1+\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}-(1-\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}}{(1+\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}+(1-\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}}}}$. ^{[ 4 ]} En el caso donde${\displaystyle \varepsilon _{b}\ll m2^{n'}}$, la polarización máxima que se puede obtener es proporcional a${\displaystyle m2^{n'}}$. De lo contrario, el sesgo máximo alcanza un valor arbitrariamente cercano a${\displaystyle 1}$El número de rondas necesarias para alcanzar un cierto sesgo depende del sesgo deseado, del sesgo del baño y del número de cúbits, y además varía entre las diferentes versiones del algoritmo. ^{[ 16 ] [ 4 ] [ 1 ]}

Existen otros resultados teóricos que establecen límites al número de iteraciones necesarias para alcanzar un determinado sesgo. Por ejemplo, si el sesgo del baño es${\displaystyle \varepsilon _{b}\ll 1}$, entonces el número de iteraciones necesarias para enfriar un cierto cúbito hasta sesgarlo${\displaystyle k\varepsilon _{b}\ll 1}$es al menos${\displaystyle k^{2}}$.