Alineaciones de puntos aleatorios

El estudio de alineaciones de puntos aleatorios en un plano busca descubrir subconjuntos de puntos que ocupan una línea aproximadamente recta dentro de un conjunto mayor de puntos ubicados aleatoriamente en una región plana. Los estudios han demostrado que tales alineaciones casi perfectas ocurren por casualidad con mayor frecuencia de lo que cabría esperar intuitivamente .

Esto se ha presentado como una demostración de que las líneas telúricas y otras alineaciones misteriosas similares, consideradas por algunos como fenómenos de gran significado, podrían existir simplemente por casualidad, en contraposición a las explicaciones sobrenaturales o antropológicas propuestas por sus defensores. El tema también se ha estudiado en los campos de la visión por computadora y la astronomía .

Numerosos estudios han examinado las matemáticas de la alineación de puntos aleatorios en el plano. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} En todos ellos, el ancho de la línea —el desplazamiento permitido de las posiciones de los puntos con respecto a una línea recta perfecta— es importante. Esto permite considerar que las características del mundo real no son puntos matemáticos y que sus posiciones no necesitan alinearse exactamente para que se consideren alineadas. Alfred Watkins , en su obra clásica sobre líneas ley, The Old Straight Track , utilizó el ancho de una línea de lápiz en un mapa como umbral para la tolerancia de lo que podría considerarse una alineación. Por ejemplo, al usar una  línea de lápiz de 1 mm para dibujar alineaciones en un mapa del Ordnance Survey a escala 1:50 000 , el ancho correspondiente en el terreno sería de 50 m. ^{[ 5 ]}

Contrariamente a lo que podría pensarse, encontrar alineaciones entre puntos colocados aleatoriamente en un paisaje se vuelve progresivamente más fácil a medida que aumenta el área geográfica considerada. Una forma de comprender este fenómeno es observar que el aumento en el número de combinaciones posibles de conjuntos de puntos en esa área compensa la disminución en la probabilidad de que cualquier conjunto de puntos en esa área se alinee.

Una definición que expresa el significado generalmente aceptado de "alineación" es:

Un conjunto de puntos, elegidos de un conjunto dado de puntos de referencia, todos los cuales se encuentran dentro de al menos un camino recto de un ancho determinado.

Más precisamente, un camino de ancho w puede definirse como el conjunto de todos los puntos dentro de una distancia de w/2 de una línea recta en un plano, o un círculo máximo en una esfera, o en general cualquier geodésica en cualquier otro tipo de variedad . Nótese que, en general, cualquier conjunto dado de puntos alineados de esta manera contendrá un gran número de caminos rectos infinitesimalmente diferentes. Por lo tanto, solo es necesaria la existencia de al menos un camino recto para determinar si un conjunto de puntos es una alineación. Por esta razón, es más fácil contar los conjuntos de puntos que los caminos en sí. El número de alineaciones encontradas es muy sensible al ancho permitido w , aumentando aproximadamente proporcionalmente a w ^{k −2} , donde k es el número de puntos en una alineación.

La siguiente es una estimación muy aproximada del orden de magnitud de la probabilidad de alineaciones, suponiendo un plano cubierto de puntos "significativos" distribuidos uniformemente.

Consideremos un conjunto de n puntos en un área compacta con un diámetro aproximado L y un área aproximadamente ^L² . Consideremos una línea válida como aquella en la que cada punto está a una distancia w /2 de la línea (es decir, se encuentra en una trayectoria de ancho w , donde w ≪ L ).

Consideremos todos los conjuntos no ordenados de k puntos de los n puntos, de los cuales hay:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(nk)!\,k!}}}$

(Véase la notación para el coeficiente factorial y binomial ).

Para hacer una estimación aproximada de la probabilidad de que cualquier subconjunto dado de k puntos sea aproximadamente colineal de la manera definida anteriormente, considere la línea entre los dos puntos "más a la izquierda" y "más a la derecha" en ese subconjunto (para algún eje izquierda/derecha arbitrario: se pueden elegir el superior e inferior para el caso vertical excepcional). Se puede trazar una línea recta trivialmente a través de esos dos puntos. Para cada uno de los k -2 puntos restantes en el subconjunto, la probabilidad de que el punto esté "lo suficientemente cerca" de la línea es aproximadamente w / L , lo que se puede ver al considerar la razón del área de la zona de tolerancia de la línea (aproximadamente wL ) y el área total (aproximadamente L ² ).

Entonces, basándonos en las estimaciones aproximadas anteriores, el número esperado de alineaciones de puntos k en el conjunto general se puede estimar que es aproximadamente igual a

${\displaystyle {\frac {n!}{(nk)!\,k!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}}$

Entre otras cosas, esto puede usarse para demostrar que, contrariamente a la intuición, el número de líneas de k puntos esperadas por azar en un plano cubierto de puntos con una densidad dada, para un ancho de línea dado, aumenta mucho más que linealmente con el tamaño del área considerada, ya que la explosión combinatoria del crecimiento en el número de posibles combinaciones de puntos compensa con creces el aumento en la dificultad de que cualquier combinación dada se alinee.

Utilizando un análisis similar, pero más cuidadoso, se puede encontrar una expresión más precisa para el número de alineaciones de 3 puntos de ancho máximo w y longitud máxima d esperadas por azar entre n puntos colocados aleatoriamente en un cuadrado de lado L como ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)}$

Si d ≈ L y k = 3, se puede ver que esto hace la misma predicción que la estimación aproximada anterior, salvo un factor constante.

Si se incluyen los efectos de borde (alineaciones perdidas sobre los límites del cuadrado), entonces la expresión se convierte en:

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}$

Una generalización a alineaciones de puntos k (ignorando los efectos de borde) es ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-2)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}}$

que tiene propiedades de escalamiento asintótico aproximadamente similares a la aproximación burda de la sección anterior, por la misma razón; que la explosión combinatoria para n grande anula los efectos de otras variables.

Las simulaciones por computadora muestran que los puntos en un plano tienden a formar alineaciones similares a las encontradas por los buscadores de líneas telúricas, en cantidades consistentes con las estimaciones de orden de magnitud mencionadas anteriormente, lo que sugiere que las líneas telúricas también pueden generarse por azar. Este fenómeno ocurre independientemente de si los puntos se generan de forma pseudoaleatoria por computadora o a partir de conjuntos de datos de elementos cotidianos como pizzerías o cabinas telefónicas .

En un mapa con una anchura de decenas de kilómetros, es fácil encontrar alineaciones de 4 a 8 puntos incluso en conjuntos de elementos relativamente pequeños con w = 50 m. Si se eligen áreas más grandes, conjuntos de elementos más densos o valores mayores de w, resulta fácil encontrar alineaciones de 20 o más puntos.

• Apofenia
• ilusión de agrupamiento
• Coincidencia
• Aleatoriedad espacial completa
• Posición general
• Reconocimiento de patrones
• Análisis de Procrustes
• Teoría de Ramsey , para una noción de "coincidencias inevitables"
• Análisis estadístico de la forma