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Articulo de referencia

Combinatoria

En la música que utiliza la técnica dodecafónica , la combinatoria es una cualidad compartida por las series dodecafónicas, en la que cada sección de una serie y un número propo...

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En la música que utiliza la técnica dodecafónica , la combinatoria es una cualidad compartida por las series dodecafónicas, en la que cada sección de una serie y un número proporcional de sus transformaciones se combinan para formar agregados (los doce tonos). [ 1 ] Así como las alturas de un agregado creado por una serie dodecafónica no tienen por qué ocurrir simultáneamente, las alturas de un agregado creado combinatoriamente tampoco tienen por qué ocurrir simultáneamente. Arnold Schoenberg , creador de la técnica dodecafónica, a menudo combinaba P-0/I-5 para crear «dos agregados, entre los primeros hexacordos de cada uno y los segundos hexacordos de cada uno, respectivamente». [ 1 ]

La combinatorialidad es un efecto secundario de las filas derivadas , donde el segmento o conjunto inicial puede combinarse con sus transformaciones (T, R, I, RI) para crear una fila completa. "La derivación se refiere a un proceso mediante el cual, por ejemplo, el tricordio inicial de una fila puede usarse para llegar a una nueva fila 'derivada' empleando las operaciones dodecafónicas estándar de transposición , inversión , retrógrada e inversión retrógrada ". [ 2 ]

Las propiedades combinatorias no dependen del orden de las notas dentro de un conjunto, sino solo del contenido del conjunto, y la combinatorialidad puede existir entre tres conjuntos tetracordales y entre cuatro conjuntos tricordales , así como entre pares de hexacordos, [ 3 ] y seis díadas . [ 4 ] Un complemento en este contexto es la mitad de un conjunto combinatorio de clases de altura y, en general, es la "otra mitad" de cualquier par que incluya conjuntos de clases de altura, texturas o rangos de altura.

Definición

En términos generales, la complementación consiste en la separación de conjuntos de clases de tono en dos conjuntos complementarios, uno de los cuales contiene las clases de tono que no están presentes en el otro. [ 1 ] De forma más restrictiva, la complementación es "el proceso de emparejar entidades a ambos lados de un centro de simetría". [ 5 ]

Filas de tonos combinatorios de Moisés y Aarón por Arnold Schoenberg emparejando hexacordios complementarios de P-0/I-3 [ 6 ]

El término «combinatorio» parece haber sido aplicado por primera vez a la música dodecafónica por Milton Babbitt en 1950, [ 7 ] cuando publicó una reseña de los libros de René Leibowitz Schoenberg et son école y Qu'est-ce que la musique de douze sons? [ 8 ] Babbitt también introdujo el término fila derivada . [ 2 ]

Combinatoria hexacordal

Hexacordios combinatorios de tricordios del Concierto para piano de Elliott Carter , compases 59-60 [ 9 ]

Una serie de 12 tonos tiene combinatoria hexacordal con otra serie de 12 tonos si sus respectivos primeros hexacordos (así como los segundos, porque una serie de 12 tonos en sí misma forma un agregado por definición) forman un agregado.

Existen cuatro tipos principales de combinatoria. Un hexacordo puede ser:

y por lo tanto:

  • Semicombinatorio (por uno de los anteriores)
  • Combinatorio (por todos)

La combinatoria prima (transposicional) de un hexacordo se refiere a la propiedad de este de formar un agregado con una o más de sus transposiciones. En otras palabras, la combinatoria transposicional es la ausencia de clases de altura compartidas entre un hexacordo y una o más de sus transposiciones. Por ejemplo, 0 2 4 6 8 t y su transposición un semitono arriba (+1): 1 3 5 7 9 e, no tienen notas en común.

La combinatoria hexacordal retrógrada se considera trivial, ya que cualquier fila tiene combinatoria hexacordal retrógrada consigo misma ( todas las filas tonales tienen combinatoria retrógrada).

La combinatorialidad inversional es una relación entre dos filas, una fila principal y su inversión. La primera mitad de la fila principal, o seis notas, son las últimas seis notas de la inversión, aunque no necesariamente en el mismo orden. Por lo tanto, la primera mitad de cada fila es el complemento de la otra . La misma conclusión se aplica también a la segunda mitad de cada fila. Cuando se combinan, estas filas aún mantienen una sensación completamente cromática y no tienden a reforzar ciertas alturas como centros tonales como podría suceder con filas combinadas libremente. Por ejemplo, la fila de Moisés y Aarón de Schoenberg , arriba, contiene: 0 1 4 5 6 7, esto se invierte a: 0 e 8 7 6 5, agregar tres = 2 3 8 9 t e.

01 4567: 1er hexacordio P0/2do hexacordio I3 23 89te: 2.º hexacordio P0/1.er hexacordio I3 escala cromática completa

La combinatorialidad de inversión retrógrada es la falta de tonos compartidos entre los hexacordos de una fila y su inversión retrógrada.

Babbitt también describió la fila semicombinatoria y la fila totalmente combinatoria, siendo esta última una fila que es combinatoria con cualquiera de sus derivaciones y sus transposiciones. Los conjuntos semicombinatorios son aquellos cuyos hexacordios pueden formar un agregado mediante la transposición de una de sus transformaciones básicas (R, I, RI). Existen trece hexacordios que son semicombinatorios únicamente por inversión.

(0) 0 1 2 3 4 6 // y 9 8 7 5 (1) 0 1 2 3 5 7 // y 9 8 6 4 (2) 0 1 2 3 6 7 // y 9 8 5 4 (3) 0 1 2 4 5 8 // y 9 7 6 3 (4) 0 1 2 4 6 8 // y 9 7 5 3 (5) 0 1 2 5 7 8 // y 9 6 4 3 (6) 0 1 3 4 6 9 // y 8 7 5 2 (7) 0 1 3 5 7 9 // y 8 6 4 2 (8) 0 1 3 5 8 9 // 7 6 4 2 y (9) 0 1 3 6 7 9 // y 8 5 4 2 (10) 0 1 4 5 6 8 // 3 2 y 9 7 (11) 0 2 3 4 6 8 // 1 y 9 7 5 (12) 0 2 3 5 7 9 // 1 y 8 6 4

Cualquier hexacordo que contenga un cero en su vector de intervalos posee combinatorialidad por transposición (en otras palabras: para lograr la combinatorialidad, un hexacordo no puede ser transpuesto por un intervalo igual a una nota que contenga). Por ejemplo, hay un hexacordo que es combinatorio por transposición (T6):

(0) 0 1 3 4 5 8 // 6 7 9 te 2

Ninguno de los hexacordos contiene tritones.

La principal fila tonal combinatoria de primer orden de Gruppen, aunque esta propiedad no se explota compositivamente en esa obra . [ 10 ]
Hexacordio "Oda a Napoleón" [ 11 ] en forma prima [ 12 ] Uno de los seis "conjuntos fuente" de hexacordios totalmente combinatorios de Babbitt. [ 12 ]

Los conjuntos totalmente combinatorios son conjuntos cuyos hexacordos son capaces de formar un agregado con cualquiera de sus transformaciones básicas transpuestas. Hay seis conjuntos fuente, o conjuntos hexacordales básicos totalmente combinatorios, cada hexacordo del cual puede reordenarse dentro de sí mismo:

(A) 0 1 2 3 4 5 // 6 7 8 9 te (B) 0 2 3 4 5 7 // 6 8 9 te 1 (C) 0 2 4 5 7 9 // 6 8 te 1 3 (D) 0 1 2 6 7 8 // 3 4 5 9 te (E) 0 1 4 5 8 9 // 2 3 6 7 te (F) 0 2 4 6 8 t // 1 3 5 7 9 e

Nota: t = 10, e = 11.

Debido a que los tres primeros conjuntos ( A , B y C ) satisfacen cada uno los cuatro criterios para un solo valor de transposición, el conjunto D los satisface para dos valores de transposición, E para tres valores y F para seis transposiciones, Babbitt designa estos cuatro grupos como hexacordios totalmente combinatorios de "primer orden", "segundo orden", "tercer orden" y "sexto orden", respectivamente. [ 13 ] Nótese que el primer conjunto, el conjunto "A", son las primeras seis notas de una escala cromática ascendente, y que el último conjunto, el conjunto "F", es una escala de tonos enteros. [ 14 ]

La combinatoria puede utilizarse para crear un agregado de los doce tonos, aunque el término a menudo se refiere simplemente a filas combinatorias enunciadas conjuntamente.

La combinatorialidad hexacordal es un concepto de la teoría postonal que describe la combinación de hexacordos, frecuentemente utilizado en referencia a la música de la Segunda Escuela de Viena . En la música que utiliza sistemáticamente los doce tonos cromáticos (en particular, la música dodecafónica y serial ), el agregado (conjunto de las doce clases de altura) puede dividirse en dos hexacordos (conjuntos de seis alturas). Esto divide el agregado en dos partes más pequeñas, facilitando así la secuenciación de notas, el avance entre filas o agregados, y la combinación de notas y agregados.

Las formas principales, P1 e I6, de la Pieza para piano de Schoenberg , op.  33a, presentan una serie dodecafónica combinatoria y contienen tres quintas perfectas cada una, que es la relación entre P1 e I6. [ 15 ]

En ocasiones, un hexacordo puede combinarse con una versión invertida o transpuesta del mismo en un caso especial, lo que dará como resultado el conjunto completo de 12 tonos cromáticos.

Una serie (B ♭ =0: 0 6 8 5 7 e 4 3 9 t 1 2) utilizada por Schoenberg puede dividirse en dos hexacordios:

B ♭ EF ♯ E ♭ FA // DC ♯ GG ♯ BC

Al invertir el primer hexacordo y transponerlo, se obtiene el siguiente hexacordo, que es una reordenación del segundo hexacordo:

GC ♯ BDCG ♯ = DC ♯ GG ♯ BC

Así, al superponer el hexacordo original 1 (P0) sobre la inversión transpuesta del hexacordo 1 (I9 en este caso), se obtiene la colección completa de 12 notas. Si se continúa con el resto de la fila transpuesta e invertida (I9) y se superpone el hexacordo original 2, se obtendría nuevamente el conjunto completo de 12 notas cromáticas.

En las Variaciones para orquesta , Op. 31 de Schoenberg , la segunda mitad de la forma de serie de tonos P1 tiene las mismas notas, en un orden diferente, que la primera mitad de I10: "Así es posible emplear P1 e I10 simultáneamente y en movimiento paralelo sin causar duplicación de notas". [ 16 ]

La combinatorialidad hexacordal está estrechamente relacionada con la teoría de los 44 tropos creada por Josef Matthias Hauer en 1921, aunque parece que Hauer no tuvo ninguna influencia sobre Babbitt. Además, hay pocas pruebas que sugieran que Hauer tuviera un conocimiento extenso sobre las propiedades inversionales de los tropos antes de 1942, al menos. [ 17 ] Sin embargo, los primeros registros sobre relaciones combinatorias de hexacordos se pueden encontrar entre los escritos teóricos del compositor y teórico musical austriaco Othmar Steinbauer . [ a ] ​​Emprendió estudios elaborados sobre el sistema de tropos a principios de la década de 1930, que están documentados en un manuscrito inédito Klang- und Meloslehre (1932). Los materiales de Steinbauer fechados entre 1932 y 1934 contienen datos exhaustivos sobre tricordios, tetracordios y hexacordios combinatorios, incluidos conjuntos semicombinatorios y totalmente combinatorios. Por lo tanto, podrían ser los registros más antiguos de la historia de la música. [ 18 ] Una compilación del material morfológico de Steinbauer se hizo pública en partes en 1960 con su manuscrito Lehrbuch der Klangreihenkomposition (edición del autor) y se reimprimió en 2001. [ 19 ]

Combinatorialidad tricordal

{ #(set-global-staff-size 18) \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.SpacingSpanner.strict-note-spacing = ##t \set Score.proportionalNotationDuration = #(ly:make-moment 2/1) \relative c'' { \time 3/1 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 b1 bes d es, g fis aes ef c' cis a } }
Serie de tonos para el Concierto para nueve instrumentos Op. 24 de Webern . Una serie derivada totalmente combinatoria compuesta por cuatro tricordios : P RI R I.

La combinatoria tricordal es la capacidad de una fila para formar agregados mediante la combinación de tricordios. «La combinatoria tricordal implica la presentación simultánea de cuatro filas en parcelas de tres piezas». [ 20 ] La existencia de combinatoria tricordal, o cualquier otra forma, en una fila no excluye la existencia de otras formas de combinatoria (al menos existe combinatoria hexacordal trivial entre cada forma de fila y su retrógrado). Todas las filas derivadas de tricordios poseen combinatoria tricordal.

Notas

  1. ↑ Steinbauer (1895–1962) fue alumno de Arnold Schoenberg y Josef Matthias Hauer. Véase el artículo sobre Steinbauer en de.wikipedia.org.

Fuentes

  1. 1 2 3 Whittall, Arnold . 2008. The Cambridge Introduction to Serialism. Cambridge Introductions to Music , p. 272. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86341-4(tapa dura) ISBN 978-0-521-68200-8(pbk).
  2. 1 2 Christensen, Thomas (2002). The Cambridge History of Western Music Theory , [sin paginar] . Cambridge. ISBN 9781316025482.
  3. ↑ George Perle , Composición serial y atonalidad: Una introducción a la música de Schoenberg, Berg y Webern , cuarta edición revisada (Berkeley, Los Ángeles, Londres: University of California Press, 1977), 129-131. ISBN 0-520-03395-7
  4. ↑ Peter Westergaard , "Algunos problemas planteados por los procedimientos rítmicos en la composición para doce instrumentos de Milton Babbitt", Perspectives of New Music 4, n.º 1 (otoño-invierno de 1965): 109-118. Citado en la página 114.
  5. ↑ Kielian-Gilbert, Marianne (1982–83). "Relaciones de conjuntos de clases de altura simétricas y la metáfora de la polaridad de Stravinsky", Perspectives of New Music 21: 210. JSTOR 832874 . 
  6. ↑ Whittall, 103
  7. ↑ Whittall, 245n8
  8. ↑ Milton Babbitt , Reseña sin título, Journal of the American Musicological Society 3, n.º 1 (primavera de 1950): 57–60. La discusión sobre la combinatoria se encuentra en la pág. 60.
  9. ↑ Mead, Andrew (2002). «Composición dodecafónica y la música de Elliott Carter», Concert Music, Rock, and Jazz Since 1945: Essays and Analytical Studies , pp. 80–81. Elizabeth West Marvin, Richard Hermann; eds. University Rochester. ISBN 9781580460965.
  10. ↑ Harvey, Jonathan (1975). La música de Stockhausen , págs. 56-58. ISBN 0-520-02311-0.
  11. ↑ David Lewin , "Re: Relaciones interválicas entre dos colecciones de notas". Journal of Music Theory 3, n.º 2 (noviembre de 1959): 298–301. pág. 300.
  12. 1 2 Van den Toorn, Pieter C. (1996). Música, política y academia , págs. 128–129. ISBN 0-520-20116-7.
  13. ↑ John Rahn , Teoría atonal básica , Longman Music Series (Nueva York y Londres: Longman, 1980): 118.
  14. ↑ Castaneda, Ramsey (marzo de 2016). "Hexacordios totalmente combinatorios" . Consultado el 1 de junio de 2016 .
  15. ↑ Leeuw, Ton de (2005). Música del siglo XX: Un estudio de sus elementos y estructura . Traducido por Stephen Taylor. Ámsterdam: Amsterdam University Press. pp. 155–157 . ISBN  90-5356-765-8.Traducción de Muziek van de twintigste eeuw: een onderzoek naar haar elementen en structuur . Utrecht: Oosthoek, 1964. Tercera impresión, Utrecht: Bohn, Scheltema & Holkema, 1977. ISBN 90-313-0244-9.
  16. ^ Leeuw 2005 , págs. 154-155.
  17. ↑ Diederichs, Joaquín. Feodoroff, Nikolaus. Schwieger, Johannes (eds.). 2007. Josef Matthias Hauer: Schriften, Manifeste, Dokumente 428–440. Viena: Verlag Lafite
  18. ↑ Sedivy, Dominik. 2011. Composición serial y tonalidad. Una introducción a la música de Hauer y Steinbauer , p. 70. Viena: edition mono/monochrom. ISBN 978-3-902796-03-5. Sedivy, Dominik. 2012. Tropentechnik. Ihre Anwendung und ihre Möglichkeiten , 258–264. Salzburger Stier 5. Würzburg: Königshausen & Neumann. ISBN 978-3-8260-4682-7
  19. ↑ Neumann, Helmut. 2001. Die Klangreihen-Kompositionslehre nach Othmar Steinbauer (1895–1962) , 184–187, 201–213, 234–236. 2 vols. Frankfurt y otros: Peter Lang
  20. ↑ Morris, Robert (1991). Apuntes de clase para la teoría de la música atonal , pág. 82. Frog Peak Music. ASIN B0006DHW9I [ISBN no especificado] .