Función casi periódica

En matemáticas , una función casi periódica es, en términos generales, una función de una variable real que es periódica con cualquier nivel de precisión deseado, dados "casi periodos" suficientemente largos y bien distribuidos. El concepto fue estudiado por primera vez por Harald Bohr y posteriormente generalizado por Vyacheslav Stepanov , Hermann Weyl y Abram Samoilovitch Besicovitch , entre otros. También existe la noción de funciones casi periódicas en grupos abelianos localmente compactos , estudiada inicialmente por John von Neumann .

La casi periodicidad es una propiedad de los sistemas dinámicos que parecen recorrer sus trayectorias en el espacio de fases , pero no exactamente. Un ejemplo sería un sistema planetario , con planetas en órbitas que se mueven con periodos que no son conmensurables (es decir, con un vector de periodo que no es proporcional a un vector de enteros ). Un teorema de Kronecker de aproximación diofántica puede usarse para demostrar que cualquier configuración particular que ocurra una vez, volverá a aparecer dentro de cualquier precisión especificada: si esperamos el tiempo suficiente, podemos observar que todos los planetas regresan, digamos, con una precisión de un segundo de arco a las posiciones que ocupaban anteriormente.

Existen varias definiciones no equivalentes de funciones casi periódicas. La primera fue dada por Harald Bohr. Su interés inicial radicaba en las series de Dirichlet finitas . De hecho, al truncar la serie para la función zeta de Riemann ζ ( s ) para hacerla finita, se obtienen sumas finitas de términos del tipo

${\displaystyle e^{s\log n}\,}$

con s escrita como σ  + it – la suma de su parte real σ y su parte imaginaria it . Fijando σ , restringiendo así la atención a una sola línea vertical en el plano complejo , podemos ver esto también como 

${\displaystyle n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,}$

Tomar una suma finita de tales términos evita las dificultades de la continuación analítica a la región σ  <  1. Aquí, las "frecuencias" log n no serán todas conmensurables (son tan linealmente independientes sobre los números racionales como los enteros n son multiplicativamente independientes , lo que se reduce a sus factorizaciones primas).

Con esta motivación inicial de considerar tipos de polinomios trigonométricos con frecuencias independientes, se aplicó el análisis matemático para discutir el cierre de este conjunto de funciones básicas, en varias normas .

La teoría fue desarrollada utilizando otras normas por Besicovitch , Stepanov , Weyl , von Neumann , Turing , Bochner y otros en las décadas de 1920 y 1930.

En el procesamiento del habla , el procesamiento de señales de audio y la síntesis musical , una señal cuasiperiódica , a veces llamada señal cuasiharmónica , es una forma de onda que es prácticamente periódica a nivel microscópico, pero no necesariamente a nivel macroscópico. Esto no da como resultado una función cuasiperiódica , sino algo más parecido a una función casi periódica, donde cualquier período es prácticamente idéntico a sus períodos adyacentes, pero no necesariamente similar a períodos mucho más distantes en el tiempo. Este es el caso de los tonos musicales (después del transitorio de ataque inicial), donde todos los parciales o sobretonos son armónicos (es decir, todos los sobretonos tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental del tono).

Cuando una señal${\displaystyle x(t)\ }$es totalmente periódico con período${\displaystyle P\ }$, entonces la señal satisface exactamente

${\displaystyle x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$

o

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\ }$

La representación en serie de Fourier sería

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}}$

o

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})}$

dónde${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{P}}}$es la frecuencia fundamental y los coeficientes de Fourier son

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\ }$

${\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }$

dónde ${\displaystyle t_{0}\ }$Puede ser en cualquier momento: ${\displaystyle -\infty <t_{0}<+\infty \ }$.

La frecuencia fundamental${\displaystyle f_{0}\ }$y coeficientes de Fourier${\displaystyle a_{n}\ }$, ${\displaystyle b_{n}\ }$,${\displaystyle r_{n}\ }$, o${\displaystyle \varphi _{n}\ }$son constantes, es decir, no son funciones del tiempo. Las frecuencias armónicas son múltiplos enteros exactos de la frecuencia fundamental.

Cuando${\displaystyle x(t)\ }$entonces es cuasiperiódico

${\displaystyle x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\ }$

o

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \ }$

dónde

${\displaystyle 0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\ }$

Ahora la representación en serie de Fourier sería

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]}$

o

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)}$

o

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)}$

dónde${\displaystyle f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}}$es la frecuencia fundamental posiblemente variable en el tiempo y los coeficientes de Fourier variables en el tiempo son

${\displaystyle a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \ }$

${\displaystyle a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \ }$

y la frecuencia instantánea para cada parcial es

${\displaystyle f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,}$

Mientras que en este caso cuasiperiódico, la frecuencia fundamental${\displaystyle f_{0}(t)\ }$las frecuencias armónicas${\displaystyle f_{n}(t)\ }$y los coeficientes de Fourier${\displaystyle a_{n}(t)\ }$, ${\displaystyle b_{n}(t)\ }$, ${\displaystyle r_{n}(t)\ }$, o${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$no son necesariamente constantes, y son funciones del tiempo, aunque funciones del tiempo que varían lentamente . Dicho de otro modo, estas funciones del tiempo están limitadas en banda a mucho menos que la frecuencia fundamental para${\displaystyle x(t)\ }$ser considerado cuasiperiódico.

Las frecuencias parciales${\displaystyle f_{n}(t)\ }$son casi armónicos, pero no necesariamente exactamente. La derivada temporal de${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$, eso es${\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ }$tiene el efecto de desafinar los parciales respecto a su valor armónico entero exacto.${\displaystyle nf_{0}(t)\ }$Un cambio rápido${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$significa que la frecuencia instantánea para ese parcial está severamente desafinada del valor armónico entero, lo que significaría que${\displaystyle x(t)\ }$no es cuasiperiódico.

• Síntesis aditiva
• Función aperiódica
• Música de ordenador
• series de Fourier
• Serie armónica (música)
• Función cuasiperiódica
• Teselado cuasiperiódico

• Amerio, Luigi ; Prouse, Giovanni (1971), Funciones casi periódicas y ecuaciones funcionales , The University Series in Higher Mathematics , Nueva York-Cincinnati-Toronto-Londres-Melbourne: Van Nostrand Reinhold , pp.  viii+184, ISBN 0-442-20295-4, MR 0275061 , Zbl 0215.15701  .
• AS Besicovitch, "Funciones casi periódicas", Cambridge Univ. Press (1932)
• Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Math. Annalen , 96 : 119–147 , doi : 10.1007/BF01209156 , S2CID 118124462 
• S. Bochner y J. von Neumann, "Función casi periódica en un grupo II", Trans. Amer. Math. Soc., 37 n.º 1 (1935) pp.  21–50
• H. Bohr, "Funciones casi periódicas", Chelsea, reimpresión (1947)
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Función casi periódica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Besicovitch" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Bohr" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Stepanov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Weyl" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• J. von Neumann, "Funciones casi periódicas en un grupo I", Trans. Amer. Math. Soc., 36 n.º 3 (1934) pp.  445–492

• "Función casi periódica (definición equivalente)" . PlanetMath .