Conjuntos casi disjuntos

En matemáticas , dos conjuntos son casi disjuntos ^{[ 1 ] [ 2 ]} si su intersección es pequeña en algún sentido; diferentes definiciones de "pequeño" darán como resultado diferentes definiciones de "casi disjunto".

La opción más común es tomar "pequeño" como finito . En este caso, dos conjuntos son casi disjuntos si su intersección es finita, es decir, si

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\infty .}$

(Aquí, '| X |' denota la cardinalidad de X , y '< ∞' significa 'finito'). Por ejemplo, los intervalos cerrados [0, 1] y [1, 2] son ​​casi disjuntos, porque su intersección es el conjunto finito {1}. Sin embargo, el intervalo unitario [0, 1] y el conjunto de los números racionales Q no son casi disjuntos, porque su intersección es infinita.

Esta definición se extiende a cualquier colección de conjuntos. Una colección de conjuntos es casi disjunta por pares o casi disjunta mutuamente si cualesquiera dos conjuntos distintos de la colección son casi disjuntos. A menudo se omite el prefijo «por pares», y una colección casi disjunta por pares se denomina simplemente «casi disjunta».

Formalmente, sea I un conjunto de índices , y para cada i en I , sea A _i un conjunto. Entonces la colección de conjuntos { A _i  : i en I } es casi disjunta si para cualesquiera i y j en I ,

${\displaystyle A_{i}\neq A_{j}\quad \implies \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty .}$

Por ejemplo, el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en ^R² es casi disjunto, porque cualesquiera dos de ellas solo se encuentran en el origen. Si { Aᵢ _} es un conjunto casi disjunto formado por más de un conjunto, entonces claramente su intersección es finita:

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}<\infty .}$

Sin embargo, lo contrario no es cierto: la intersección de la colección

${\displaystyle \{\{1,2,3,\ldots \},\{2,3,4,\ldots \},\{3,4,5,\ldots \},\ldots \}}$

está vacío , pero la colección no es casi disjunta; de hecho, la intersección de cualesquiera dos conjuntos distintos en esta colección es infinita.

Las cardinalidades posibles de una familia casi disjunta máxima (comúnmente denominada familia MAD) en el conjunto${\displaystyle \omega }$de los números naturales ha sido objeto de intenso estudio. ^{[ 3 ] [ 2 ]} El mínimo infinito de tales cardinales es una de las características cardinales clásicas del continuo . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

A veces, el término «casi disjunto» se usa en otro sentido, o en el de la teoría de la medida o la categoría topológica . Aquí presentamos algunas definiciones alternativas de «casi disjunto» que se utilizan ocasionalmente (definiciones similares se aplican a colecciones infinitas):

• Sea κ cualquier número cardinal. Entonces dos conjuntos A y B son casi disjuntos si la cardinalidad de su intersección es menor que κ, es decir, si

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\kappa .}$

El caso de κ = 1 es simplemente la definición de conjuntos disjuntos ; el caso de

${\displaystyle \kappa =\aleph _ {0}}$

es simplemente la definición de casi disjunto dada anteriormente, donde la intersección de A y B es finita.

• Sea m una medida completa en un espacio de medida X. Entonces dos subconjuntos A y B de X son casi disjuntos si su intersección es un conjunto nulo, es decir, si

${\displaystyle m(A\cap B)=0.}$

• Sea X un espacio topológico . Entonces , dos subconjuntos A y B de X son casi disjuntos si su intersección es pequeña en X.