Casi suena

En matemáticas , los casi módulos y los casi anillos son ciertos objetos que interpolan entre anillos y sus cuerpos de fracciones . Fueron introducidos por Gerd Faltings ( 1988 ) en su estudio de la teoría de Hodge p -ádica .

Casi módulos

Sea V un dominio de integridad local con el ideal maximal m , y K un cuerpo de fracciones de V. La categoría de K - módulos , K - Mod , se puede obtener como cociente de V - Mod por la subcategoría de Serre de módulos de torsión , es decir, aquellos N tales que cualquier elemento n en N es aniquilado por algún elemento no nulo en el ideal maximal. Si la categoría de módulos de torsión se reemplaza por una subcategoría más pequeña , obtenemos un paso intermedio entre V -módulos y K -módulos. Faltings propuso usar la subcategoría de módulos casi nulos , es decir, N ∈ V - Mod tales que cualquier elemento n en N es aniquilado por todos los elementos del ideal maximal.

Para que esta idea funcione, m y V deben satisfacer ciertas condiciones técnicas. Sea V un anillo (no necesariamente local) y m ⊆ V un ideal idempotente , es decir, un ideal tal que m ² = m . Supongamos también que m ⊗ m es un V -módulo plano . Un módulo N sobre V es casi cero con respecto a dicho m si para todo ε ∈ m y n ∈ N tenemos εn = 0. Los módulos casi cero forman una subcategoría de Serre de la categoría de V -módulos. La categoría de casi V-módulos , V ^a - Mod , es una localización de V - Mod a lo largo de esta subcategoría.

El functor cociente V - Mod → V ^a - Mod se denota por $N\mapsto N^{a}$ . Las suposiciones sobre m garantizan que $(-)^{a}$ es un functor exacto que tiene tanto el functor adjunto derecho $M\mapsto M_{*}$ y el functor adjunto izquierdo $M\mapsto M_{!}$ . Además, $(-)_{*}$ es completo y fiel . La categoría de casi módulos es completa y cocompleta .

Casi anillos

El producto tensorial de V -módulos desciende a una estructura monoidal en V ^a - Mod . Un casi módulo R ∈ V ^a - Mod con una aplicación R ⊗ R → R que satisface condiciones naturales, similar a la definición de un anillo, se denomina casi V -álgebra o casi anillo si el contexto es inequívoco. Muchas propiedades estándar de las álgebras y los morfismos entre ellas se extienden al mundo de los "casi".

Ejemplo

En el artículo original de Faltings, V era la clausura integral de un anillo de valuación discreta en la clausura algebraica de su cuerpo cociente , y m su ideal maximal. Por ejemplo, sea V $\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]$ , es decir, una completación p -ádica de $\operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]$ . Tomemos m como el ideal maximal de este anillo. Entonces el cociente V/m es un módulo casi cero, mientras que V/p es una torsión, pero no un módulo casi cero ya que la clase de p ^{1/ p ²} en el cociente no se aniquila por p ^{1/ p ²} considerado como un elemento de m .

Referencias

Faltings, Gerd (1988), "Teoría de Hodge p-ádica", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 255– 299, doi : 10.2307/1990970 , JSTOR 1990970 , MR 0924705
Gabber, Ofer ; Ramero, Lorenzo (2003), Almost ring theory , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1800, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007/b10047 , ISBN 3-540-40594-1, MR 2004652 , S2CID 14400790