Forma bilineal

Toda forma bilineal B en V define un par de aplicaciones lineales de V a su espacio dual V ^∗ . Definimos B ₁ , B ₂ : V → V ^∗ mediante

Esto se suele denominar como

donde el punto ( ⋅ ) indica la ranura en la que se debe colocar el argumento para el funcional lineal resultante (ver Currying ).

_{Para un espacio vectorial} V de dimensión finita , si B₁ o B₂ son isomorfismos, entonces ambos lo son, y se dice que la forma bilineal B es no degenerada . Más concretamente, para un espacio vectorial _de dimensión finita, no degenerado significa que cada elemento distinto de cero se empareja de forma no trivial con algún otro elemento:

${\displaystyle B(x,y)=0}$a pesar de${\displaystyle y\in V}$implica que x = 0 y

${\displaystyle B(x,y)=0}$a pesar de${\displaystyle x\in V}$implica que y = 0 .

La noción correspondiente para un módulo sobre un anillo conmutativo es que una forma bilineal esunimodular si V → V ^∗ es un isomorfismo. Dado un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo, el emparejamiento puede ser inyectivo (y por lo tanto "no degenerado" en el sentido anterior) pero no unimodular. Por ejemplo, sobre los enteros, el emparejamiento B ( x , y ) = 2 xy es no degenerado pero no unimodular, ya que la aplicación inducida de V = Z a V ^∗ = Z es la multiplicación por 2.

Si V es de dimensión finita, entonces se puede identificar V con su doble dual V ^∗∗ . Entonces se puede demostrar que B ₂ es la transpuesta de la aplicación lineal B ₁ (si V es de dimensión infinita, entonces B ₂ es la transpuesta de B ₁ restringida a la imagen de V en V ^∗∗ ). Dado B , se puede definir la transpuesta de B como la forma bilineal dada por

El radical izquierdo y el radical derecho de la forma B son los núcleos de B ₁ y B ₂ respectivamente; ^{[ 2 ]} son ​​los vectores ortogonales a todo el espacio por la izquierda y por la derecha. ^{[ 3 ]}

Si V es de dimensión finita, entonces el _rango de B₁ es igual al rango de B₂ . Si este número es igual a dim( V ), _{entonces B₁} y B₂ son isomorfismos lineales de V a V ^* . En este caso, _B es no degenerado. Por el teorema de rango-nulidad _, esto es equivalente a la condición de que los radicales izquierdo y derecho sean triviales. Para espacios de dimensión finita, esto se suele tomar como la definición de no degeneración.

Dada cualquier aplicación lineal A  : V → V ^∗ se puede obtener una forma bilineal B en V mediante

Esta forma será no degenerada si y solo si A es un isomorfismo.

Si V es de dimensión finita , entonces, con respecto a alguna base para V , una forma bilineal es degenerada si y solo si el determinante de la matriz asociada es cero. De igual modo, una forma no degenerada es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es distinto de cero (la matriz es no singular ). Estas afirmaciones son independientes de la base elegida. Para un módulo sobre un anillo conmutativo, una forma unimodular es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es una unidad (por ejemplo, 1), de ahí el término; tenga en cuenta que una forma cuyo determinante de matriz es distinto de cero pero no una unidad será no degenerada pero no unimodular, por ejemplo B ( x , y ) = 2 xy sobre los enteros.

Definimos una forma bilineal como

• simétrico si B ( v , w ) = B ( w , v ) para todo v , w en V ;
• alternando si B ( v , v ) = 0 para todo v en V ;
• asimétrico oantisimétrico si B ( v , w ) = − B ( w , v )para todo v , w enV;

  Proposición

  Cada forma alternada es antisimétrica.

  Prueba

  Esto se puede ver al expandir B ( v + w , v + w ) .

Si la característica de K no es 2, entonces también se cumple lo contrario: toda forma antisimétrica es alternante. Sin embargo, si char( K ) = 2 , entonces una forma antisimétrica es igual a una forma simétrica, y existen formas simétricas/antisimétricas que no son alternantes.

Una forma bilineal es simétrica (respectivamente antisimétrica) si y solo si su matriz de coordenadas (con respecto a cualquier base) es simétrica (respectivamente antisimétrica ). Una forma bilineal es alternante si y solo si su matriz de coordenadas es antisimétrica y las entradas diagonales son todas cero (lo cual se deduce de la antisimetría cuando char( K ) ≠ 2 ).

Una forma bilineal es simétrica si y solo si las aplicaciones B ₁ , B ₂ : V → V ^∗ son iguales, y antisimétrica si y solo si son negativas entre sí. Si char( K ) ≠ 2 , entonces se puede descomponer una forma bilineal en una parte simétrica y una antisimétrica de la siguiente manera: $${\displaystyle B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),}$$ donde ^t B es la transpuesta de B (definida anteriormente).

Una forma bilineal B es reflexiva si y solo si es simétrica o alternante. ^{[ 4 ]} En ausencia de reflexividad, debemos distinguir la ortogonalidad izquierda y derecha. En un espacio reflexivo, los radicales izquierdo y derecho coinciden y se denominan núcleo o radical de la forma bilineal: el subespacio de todos los vectores ortogonales con cualquier otro vector. Un vector v , con representación matricial x , está en el radical de una forma bilineal con representación matricial A , si y solo si Ax = 0 ⇔ x ^T A = 0. El radical es siempre un subespacio de V. Es trivial si y solo si la matriz A es no singular, y por lo tanto si y solo si la forma bilineal es no degenerada.

Supongamos que W es un subespacio. Definamos el complemento ortogonal ^{[ 5 ].}$${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ para todo }}\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

Para una forma no degenerada en un espacio de dimensión finita, el mapa V/W → W ^⊥ es biyectivo y la dimensión de W ^⊥ es dim( V ) − dim( W ) .

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado ( V , ‖⋅‖) es acotada , si existe una constante C tal que para todo u , v ∈ V , $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado ( V , ‖⋅‖) es elíptica o coercitiva si existe una constante c > 0 tal que para todo u ∈ V , $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.}$$

Gran parte de la teoría está disponible para una aplicación bilineal de dos espacios vectoriales sobre el mismo campo base a ese campo.

Aquí todavía tenemos aplicaciones lineales inducidas de V a W ^∗ y de W a V ^∗ . Puede ocurrir que estas aplicaciones sean isomorfismos; suponiendo dimensiones finitas, si una es un isomorfismo, la otra también debe serlo. Cuando esto sucede, se dice que B es un emparejamiento perfecto .

En dimensiones finitas, esto es equivalente a que el emparejamiento sea no degenerado (los espacios necesariamente tienen las mismas dimensiones). Para módulos (en lugar de espacios vectoriales), así como una forma no degenerada es más débil que una forma unimodular, un emparejamiento no degenerado es una noción más débil que un emparejamiento perfecto. Un emparejamiento puede ser no degenerado sin ser un emparejamiento perfecto, por ejemplo Z × Z → Z vía ( x , y ) ↦ 2 xy es no degenerado, pero induce una multiplicación por 2 en el mapa Z → Z ^∗ .

La terminología varía en cuanto a la cobertura de las formas bilineales. Por ejemplo, F. Reese Harvey analiza "ocho tipos de producto interno". ^{[ 6 ]} Para definirlos, utiliza matrices diagonales A _ij que solo tienen +1 o −1 para elementos distintos de cero. Algunos de los "productos internos" son formas simplécticas y otros son formas sesquilineales o hermíticas . En lugar de un cuerpo general K , se especifican las instancias con números reales R , números complejos C y cuaterniones H. La forma bilineal$${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$$ se denomina caso simétrico real y se etiqueta como R ( p , q ) , donde p + q = n . Luego articula la conexión con la terminología tradicional: ^{[ 7 ]}

Algunos de los casos simétricos reales son muy importantes. El caso definido positivo R ( n , 0) se llama espacio euclidiano , mientras que el caso de un solo menos, R ( n −1, 1) se llama espacio lorentziano . Si n = 4 , entonces el espacio lorentziano también se llama espacio de Minkowski o espaciotiempo de Minkowski . El caso especial R ( p , p ) se denominará caso dividido .

Dado un anillo R y un R -módulo derecho M y su módulo dual M ^∗ , una aplicación B  : M ^∗ × M → R se denomina forma bilineal si

para todo u , v ∈ M ^∗ , todo x , y ∈ M y todo α , β ∈ R .

La aplicación ⟨⋅,⋅⟩  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ u ( x ) se conoce como el emparejamiento natural , también llamado forma bilineal canónica en M ^∗ × M . ^{[ 8 ]}

Una aplicación lineal S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ S ( u ) induce la forma bilineal B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ S ( u ), x ⟩ , y una aplicación lineal T  : M → M  : x ↦ T ( x ) induce la forma bilineal B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ u , T ( x )⟩ .

Por el contrario, una forma bilineal B  : M ^∗ × M → R induce las aplicaciones R -lineales S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ ( x ↦ B ( u , x )) y T ′  : M → M ^∗∗  : x ↦ ( u ↦ B ( u , x )) . Aquí, M ^∗∗ denota el doble dual de M .