Polinomio alternante

En álgebra, un polinomio alternado es un polinomio${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$de tal manera que si se intercambian dos cualesquiera de las variables, el polinomio cambia de signo:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

De forma equivalente, si se permutan las variables, el polinomio cambia de valor según el signo de la permutación :

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

De forma más general, un polinomio${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$Se dice que está alternando en${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$si cambia de signo si uno cambia cualquiera de los dos${\displaystyle x_{i}}$, dejando el${\displaystyle y_{j}}$fijo. ^{[ 1 ]}

Productos de polinomios simétricos y alternados (en las mismas variables)${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$) se comportan así:

• El producto de dos polinomios simétricos es simétrico,
• El producto de un polinomio simétrico y un polinomio alternado es alternado, y
• El producto de dos polinomios alternados es simétrico.

Esta es exactamente la tabla de suma para la paridad , donde "simétrico" corresponde a "par" y "alternante" corresponde a "impar". Por lo tanto, la suma directa de los espacios de polinomios simétricos y alternantes forma una superálgebra (una${\displaystyle \mathbf {Z} _ {2}}$- álgebra graduada ), donde los polinomios simétricos son la parte par y los polinomios alternados son la parte impar. Esta graduación no está relacionada con la graduación de polinomios por grado .

En particular, los polinomios alternados forman un módulo sobre el álgebra de polinomios simétricos (la parte impar de una superálgebra es un módulo sobre la parte par); de hecho, es un módulo libre de rango  1, con el polinomio de Vandermonde en n variables como generador.

Si la característica del anillo de coeficientes es 2, no hay diferencia entre los dos conceptos: los polinomios alternados son precisamente los polinomios simétricos.

El polinomio alternante básico es el polinomio de Vandermonde :

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Esto es claramente alternante, ya que intercambiar dos variables cambia el signo de un término y no cambia los demás. ^{[ 2 ]}

Los polinomios alternados son exactamente el polinomio de Vandermonde multiplicado por un polinomio simétrico:${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$dónde${\displaystyle s}$es simétrico. Esto se debe a que:

• ${\displaystyle v_{n}}$es un factor de todo polinomio alternado:${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$es un factor de cada polinomio alternado, como si${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$, el polinomio es cero (ya que intercambiarlos no cambia el polinomio, obtenemos

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

entonces${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$es un factor), y por lo tanto${\displaystyle v_{n}}$es un factor.

• un polinomio alternante multiplicado por un polinomio simétrico es un polinomio alternante; por lo tanto, todos los múltiplos de${\displaystyle v_{n}}$son polinomios alternados

Por el contrario, la razón entre dos polinomios alternados es una función simétrica, posiblemente racional (no necesariamente un polinomio), aunque la razón entre un polinomio alternado y el polinomio de Vandermonde sí es un polinomio. Los polinomios de Schur se definen de esta manera, como un polinomio alternado dividido por el polinomio de Vandermonde.

Desde la perspectiva de la teoría de la representación , los polinomios simétricos y alternados son subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico sobre n letras en el anillo de polinomios de n variables. (Formalmente, el grupo simétrico actúa sobre n letras y, por lo tanto, actúa sobre objetos derivados, en particular objetos libres sobre n letras, como el anillo de polinomios).

El grupo simétrico tiene dos representaciones unidimensionales: la representación trivial y la representación de signos. Los polinomios simétricos son la representación trivial, y los polinomios alternados son la representación de signos. Formalmente, el espacio escalar generado por cualquier polinomio simétrico (o alternado) es una representación trivial (o de signos) del grupo simétrico, y al multiplicar los polinomios se obtienen los tensores de dichas representaciones.

En la característica 2, estas no son representaciones distintas, y el análisis es más complicado.

Si${\displaystyle n>2}$, también existen otras subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico sobre el anillo de polinomios, como se discute en la teoría de representación del grupo simétrico .

Los polinomios alternados son un fenómeno inestable: el anillo de polinomios simétricos en n variables se puede obtener a partir del anillo de polinomios simétricos en un número arbitrario de variables evaluando todas las variables anteriores.${\displaystyle x_{n}}$a cero: los polinomios simétricos son, por lo tanto, estables o definidos de forma compatible. Sin embargo, este no es el caso de los polinomios alternados, en particular el polinomio de Vandermonde .

• Polinomio simétrico
• Clase de Euler

• Giambruno, Antonio; Zaicev, Mikhail (2005). Identidades polinomiales y métodos asintóticos . Vol.  122. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3829-7.
• El teorema fundamental de las funciones alternadas , por Matthieu Romagny, 15 de septiembre de 2005.