Alternatividad

En álgebra abstracta , la alternatividad es una propiedad de una operación binaria . Se dice que un magma G esalternativa izquierda si${\displaystyle (xx)y=x(xy)}$a pesar de${\displaystyle x,y\in G}$yalternativa correcta si${\displaystyle y(xx)=(yx)x}$a pesar de${\displaystyle x,y\in G}$Se dice que un magma que es alternativo tanto a la izquierda como a la derecha esalternativa . ^{[ 1 ]}

Cualquier magma asociativo (es decir, un semigrupo ) es alternativo. En términos más generales, un magma en el que cada par de elementos genera un submagma asociativo debe ser alternativo. Sin embargo, lo contrario no es cierto, a diferencia de lo que ocurre en las álgebras alternativas .

Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una multiplicación alternativa son:

• Todo semigrupo es asociativo y, por lo tanto, alternativo.
• Los bucles Moufang son alternativos y flexibles, pero generalmente no asociativos. Consulte la sección Ejemplos de bucles Moufang  para ver más ejemplos.
• La multiplicación de octoniones es alternativa y flexible. Lo mismo es cierto, en general, para cualquier álgebra de octoniones .
• Aplicar la construcción de Cayley-Dickson una vez a un anillo conmutativo con una involución trivial.${\displaystyle a^{\ast }=a}$da como resultado un álgebra asociativa conmutativa. Aplicarla dos veces da como resultado un álgebra asociativa. Aplicarla tres veces da como resultado un álgebra alternativa. Aplicarla cuatro o más veces da como resultado un álgebra que normalmente no es alternativa (aunque está en característica dos). Un ejemplo es la secuencia${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} ,\mathbb {S} ,...}$dónde${\displaystyle \mathbb {H} }$es el álgebra de cuaterniones,${\displaystyle \mathbb {O} }$es el álgebra de octoniones y${\displaystyle \mathbb {S} }$es el álgebra de sedeniones .

• Álgebra flexible
• Asociatividad de poder

• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Introducción a las álgebras no asociativas . Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .