Mapa multilineal alternante

En matemáticas , más específicamente en álgebra multilineal , una aplicación multilineal alternada es una aplicación multilineal cuyos argumentos pertenecen al mismo espacio vectorial (por ejemplo, una forma bilineal o una forma multilineal ) que es cero cuando cualquier par de sus argumentos es igual. Esto se generaliza directamente a un módulo sobre un anillo conmutativo .

La noción de alternatización (o alternatización ) se utiliza para derivar un mapa multilineal alternado a partir de cualquier mapa multilineal cuyos argumentos pertenezcan todos al mismo espacio.

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un anillo conmutativo y${\displaystyle V}$,${\displaystyle W}$ser módulos sobre${\displaystyle R}$. Un mapa multilineal de la forma${\displaystyle f:V^{n}\to W}$Se dice que es alternante si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

1. siempre que exista${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$entonces${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
2. siempre que exista${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$entonces${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Dejar${\displaystyle V,W}$sean espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Entonces, una aplicación multilineal de la forma${\displaystyle f:V^{n}\to W}$es alternante si cumple la siguiente condición:

• si${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$entonces son linealmente dependientes${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$.

En un álgebra de Lie , el corchete de Lie es una aplicación bilineal alternada. El determinante de una matriz es una aplicación multilineal alternada de las filas o columnas de la matriz.

Si algún componente${\displaystyle x_{i}}$de un mapa multilineal alternado se reemplaza por${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$para cualquier${\displaystyle j\neq i}$y${\displaystyle c}$en el anillo base${\displaystyle R}$, entonces el valor de ese mapa no cambia. ^{[ 3 ]}

Todo mapa multilineal alternado es antisimétrico , ^{[ 4 ]} lo que significa que ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}$$ o equivalentemente, $${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$ dónde${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$denota el grupo de permutación de grado${\displaystyle n}$y${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$es el signo de${\displaystyle \sigma }$. ^{[ 5 ]} Si${\displaystyle n!}$es una unidad en el anillo base${\displaystyle R}$, entonces cada antisimétrico${\displaystyle n}$-La forma multilineal es alterna.

Dado un mapa multilineal de la forma${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$el mapa multilineal alternante${\displaystyle g:V^{n}\to W}$definido por $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$ Se dice que es la alternancia de${\displaystyle f}$.

Propiedades

• La alternancia de un${\displaystyle n}$-Mapa alternante multilineal es${\displaystyle n!}$el tiempo mismo.
• La alternancia de un mapa simétrico es cero.
• La alternancia de una aplicación bilineal es bilineal. Cabe destacar que la alternancia de cualquier cociclo es bilineal. Este hecho desempeña un papel crucial en la identificación del segundo grupo de cohomología de un retículo con el grupo de formas bilineales alternadas en dicho retículo.

• Álgebra alternada
• Mapa bilineal
• Álgebra exterior §  Formas multilineales alternadas
• Mapa (matemáticas)
• álgebra multilineal
• Mapa multilineal
• Forma multilineal
• Simetrización

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