Número admisible

Un número amenable es un entero positivo para el cual existe un multiconjunto de tantos enteros como el número original que suman el número original y, al multiplicarse entre sí, dan el número original. Dicho algebraicamente, para un entero positivo n , existe un multiconjunto de n enteros { a₁ , ..., aₙ _{} , para los cuales se} cumplen las igualdades $${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$$ Se permite la presencia de números negativos en el multiconjunto. Por ejemplo, 5 es amenable, ya que 5 = 1 + (−1) + 1 + (−1) + 5. Solo los números congruentes con 0 o 1 (módulo 4), excepto 4, son amenables. ( Tamvakis y Lossers, 1998 )

Los primeros números aceptables son: 1, 5, 8, 9, 12, 13 ... OEIS : A100832 

Una solución para enteros de la forma n = 4k + 1 podría obtenerse mediante un conjunto de 2k ( +1) y 2k ( −1) más n mismo. (Esto generaliza el ejemplo 5 dado anteriormente).

Aunque no resulte obvio a partir de la definición, el conjunto de números amenables es cerrado bajo la multiplicación (el producto de dos números amenables es un número amenable).

Todos los números compuestos serían aceptables si se permitiera que el multiconjunto tuviera cualquier longitud, porque, incluso si hay otras soluciones disponibles, siempre se puede obtener una solución tomando la factorización prima (expresada con factores repetidos en lugar de exponentes) y agregando tantos 1 como sea necesario para sumar n . El producto de este conjunto de enteros dará como resultado n sin importar cuántos 1 haya en el conjunto. Además, aún bajo esta suposición, cualquier entero n sería aceptable. Consideremos la solución poco elegante para n de {1, −1, 1, −1, n }. En la suma, los unos positivos se cancelan con los negativos, dejando n , mientras que en el producto, los dos negativos cancelan el efecto de sus signos.

Los números amenables no deben confundirse con los números amigables , que son pares de números enteros cuyos divisores suman un valor igual entre sí.

• Entrada de Mathworld sobre números amenables
• Sloane, N.  J.  A. (ed.). "Secuencia A100832 (Números aceptables)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
• Tamvakis, H. (1995), "Problema 10454", American Mathematical Monthly , 102 : 463, doi : 10.2307/2975042
• Tamvakis, H.; Lossers, OP (1998), "Solución al problema 10454. Números amenables", American Mathematical Monthly , 105 : 368, doi : 10.2307/2589724