Calculadora de amortización

Una calculadora de amortización se utiliza para determinar el importe del pago periódico de un préstamo (normalmente una hipoteca ), basándose en el proceso de amortización . ^{[ 1 ]}

El modelo de amortización contempla cantidades variables tanto de intereses como de capital en cada cuota, aunque el importe total de cada pago es el mismo.

Una calculadora de amortización se usa a menudo para ajustar el monto del préstamo hasta que los pagos mensuales se ajusten cómodamente al presupuesto, y puede variar la tasa de interés para ver la diferencia que una tasa más baja podría suponer en el tipo de vivienda o automóvil que se puede adquirir. ^{[ 2 ]} Una calculadora de amortización también puede revelar la cantidad exacta en dólares que se destina a intereses y la cantidad exacta en dólares que se destina al capital de cada pago individual. La tabla de amortización es una tabla que detalla estas cifras a lo largo de la duración del préstamo en orden cronológico.

El cálculo utilizado para determinar el importe del pago periódico parte del supuesto de que el primer pago no vence el primer día del préstamo, sino un período de pago completo después de iniciado el préstamo.

Si bien normalmente se usa para despejar A (el pago, dados los términos), también se puede usar para despejar cualquier variable de la ecuación, siempre que se conozcan todas las demás. Se puede reorganizar la fórmula para despejar cualquier término, excepto i , para el cual se puede usar un algoritmo de búsqueda de raíces .

La fórmula de la anualidad es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle A=P{\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}=Pi\times {\frac {(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}\times {\frac {(1+i)^{-n}}{(1+i)^{-n}}}={\frac {P\times i}{1-(1+i)^{-n}}}}$

O, equivalentemente: ${\displaystyle A=P{\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}=Pi\times {\frac {(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}=Pi\times {\frac {(1+i)^{n}-1+1}{(1+i)^{n}-1}}=Pi\times ({\frac {(1+i)^{n}-1}{(1+i)^{n}-1}}+{\frac {1}{(1+i)^{n}-1}})=P\left(i+{\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}\right)}$

Dónde:

• A = importe del pago periódico
• P = importe del capital , neto de los pagos iniciales, es decir, "restar cualquier pago inicial".
• i = tasa de interés periódica
• n = número total de pagos

Esta fórmula es válida si i > 0. Si i = 0, entonces simplemente A = P / n .

Para un préstamo a 30 años con pagos mensuales,${\displaystyle n=30{\text{ años}}\times 12{\text{ meses/año}}=360{\text{ meses}}}$

Tenga en cuenta que la tasa de interés se suele denominar tasa de porcentaje anual (por ejemplo, 8% TAE), pero en la fórmula anterior, dado que los pagos son mensuales, la tasa${\displaystyle i}$Debe expresarse como un porcentaje mensual. Convertir una tasa de interés anual (es decir, el rendimiento porcentual anual o TPA) a una tasa mensual no es tan sencillo como dividir entre 12; véase TAE . Sin embargo, si la tasa se expresa como "TPA" y no como "tasa de interés anual", entonces dividir entre 12 es un método adecuado para determinar la tasa de interés mensual.

La fórmula para el importe del pago periódico${\displaystyle A}$se deriva de la siguiente manera. Para un programa de amortización, podemos definir una función${\displaystyle p_{t}}$que representa el monto principal restante inmediatamente después de la${\displaystyle t}$Se realiza el pago -ésimo. El número total de pagos del préstamo amortizado completo es${\displaystyle n}$Entonces podemos derivar una fórmula para esta función para resolver el monto de pago desconocido.${\displaystyle A}$, con la definición${\displaystyle r=1+i}$.

Esta regla general para la${\displaystyle t}$-el pago es

${\displaystyle \;p_{t}=p_{t-1}rA}$

Y la condición inicial es

${\displaystyle \;p_{0}=P}$

El capital inmediatamente después del primer pago es

${\displaystyle \;p_{1}=p_{0}rA=Pr-A}$

Tenga en cuenta que para reducir el monto principal,${\displaystyle p_{1}<p_{0}}$o${\displaystyle P(r-1)=Pi<A}$Esto define un pago mínimo necesario para superar los intereses añadidos al préstamo y avanzar hacia su liquidación.

El capital inmediatamente después del segundo pago es

${\displaystyle \;p_{2}=p_{1}rA=Pr^{2}-Ar-A}$

El capital inmediatamente después del tercer pago es

${\displaystyle \;p_{3}=p_{2}rA=Pr^{3}-Ar^{2}-Ar-A}$

Esto puede generalizarse a

${\displaystyle \;p_{t}=Pr^{t}-A\sum _{k=0}^{t-1}r^{k}}$

Aplicando la sustitución (ver progresiones geométricas )

${\displaystyle \;\sum _{k=0}^{t-1}r^{k}=1+r+r^{2}+...+r^{t-1}={\frac {r^{t}-1}{r-1}}}$

Esto da como resultado

${\displaystyle \;p_{t}=Pr^{t}-A{\frac {r^{t}-1}{r-1}}}$

Para${\displaystyle n}$períodos de pago, esperamos que el monto principal se pague por completo en el último período de pago, o

${\displaystyle \;p_{n}=Pr^{n}-A{\frac {r^{n}-1}{r-1}}=0}$

Resolver para${\displaystyle A}$, obtenemos

${\displaystyle \;A=P{\frac {r^{n}(r-1)}{r^{n}-1}}=P{\frac {(i+1)^{n}((i+{\cancel {1}})-{\cancel {1}})}{(i+1)^{n}-1}}=P{\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$

Si bien se suele utilizar para fines relacionados con hipotecas, una calculadora de amortización también puede utilizarse para analizar otras deudas, incluidos préstamos a corto plazo, préstamos estudiantiles y tarjetas de crédito.

• Préstamo amortizado