Introducción a la filosofía de las matemáticas

Introducción a la filosofía de las matemáticas es un libro de texto de 2012 sobre filosofía de las matemáticas, escrito por Mark Colyvan . Se centra en cuestiones de la filosofía contemporánea , como ely antirrealismo matemático y la importancia filosófica de la práctica matemática, y omite en gran medida los debates históricos. Cubre una variedad de temas de la filosofía de las matemáticas contemporánea, incluyendo diversas formas de realismo matemático, el argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam , el ficcionalismo matemático , la explicación matemática, la " eficacia irrazonable de las matemáticas ", las matemáticas paraconsistentes y el papel de la notación matemática en el progreso de las matemáticas. El libro fue elogiado por su accesibilidad y buena redacción, y la reacción a su enfoque contemporáneo fue mayoritariamente positiva, aunque algunos críticos académicos consideraron que debería haber abordadocon mayor detalle los debates históricos sobre logicismo , formalismo e intuicionismo . Otros aspectos del libro que recibieron elogios fueron su explicación matemática, su atractivo para matemáticos y otros no filósofos, y sus preguntas para la reflexión y lecturas adicionales, mientras que su epílogo y su corta extensión recibieron una acogida más dispar.

Introducción a la filosofía de las matemáticas es un libro de texto sobre la filosofía de las matemáticas que se centra en el tema del realismo matemático , es decir, la cuestión de si existen o no objetos matemáticos y la explicación matemática. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Colyvan describió su intención para el libro como un libro de texto que «[va] más allá de la primera mitad del siglo XX y [explora] los temas que captan la atención de los filósofos de las matemáticas contemporáneos». ^{[ 3 ]} Como resultado, el libro se centra menos en los debates históricos en la filosofía de las matemáticas que otros libros de texto similares y más en temas contemporáneos, ^{[ 4 ] [ 5 ]} incluyendo la filosofía de la práctica matemática. ^{[ 2 ]}

El libro tiene ocho capítulos y un epílogo, y cada capítulo termina con una lista de preguntas para la discusión y lecturas adicionales. ^{[ 1 ] [ 3 ]} El capítulo 1 cubre brevemente lo que Colyvan llama los "grandes ismos" que dominaron la filosofía de las matemáticas de principios del siglo XX: logicismo , formalismo e intuicionismo . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Luego pasa a las cuestiones filosóficas planteadas por Paul Benacerraf en sus artículos "¿Qué es la verdad matemática?" (1965) y "¿Qué no podrían ser los números?" (1971). ^{[ 1 ] [ 7 ]}

El capítulo 2 trata sobre los límites de las matemáticas y los teoremas matemáticos restrictivos relevantes . ^{[ 2 ] [ 5 ]} Analiza el teorema de Löwenheim-Skolem y su conexión con el teorema de Cantor , incluyendo una demostración del teorema de Cantor y una explicación de por qué los dos teoremas no son contradictorios. ^{[ 1 ] [ 7 ]} También analiza los teoremas de incompletitud de Gödel y el trabajo de Gödel y Cohen sobre la independencia de la hipótesis del continuo . ^{[ 7 ] [ 2 ]} Estos resultados se utilizan para motivar el debate entre el realismo matemático y el antirrealismo . ^{[ 1 ]}

Siguiendo a Hilary Putnam , Colyvan distingue entre realismo sobre verdades matemáticas y realismo sobre objetos matemáticos en el capítulo 3. ^{[ 1 ] [ 8 ]} Argumenta que «parece un camino muy rápido de la verdad objetiva a los objetos» y, por lo tanto, centra la discusión posterior en el realismo sobre objetos matemáticos. ^{[ 1 ]} El capítulo continúa distinguiendo entre varios tipos de realismo, incluyendo el platonismo puro , el estructuralismo y el realismo fisicalista de autores como Penelope Maddy , ^{[ 8 ]} y para cubrir el naturalismo y el argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam . ^{[ 4 ] [ 9 ]} También se presentan objeciones al argumento de indispensabilidad de Maddy, Hartry Field y Elliott Sober . ^{[ 7 ]}

El capítulo 4 se centra en el antirrealismo matemático (también conocido como nominalismo ), específicamente en el ficcionalismo matemático . ^{[ 9 ]} Ofrece una introducción al ficcionalismo de Hartry Field y su programa de nominalización, que Colyvan denomina el camino difícil hacia el nominalismo. ^{[ 1 ] [ 4 ]} Colyvan también aborda los llamados caminos fáciles hacia el nominalismo; tales posturas son "fáciles" porque no intentan eliminar las entidades matemáticas de nuestras mejores teorías científicas, como pretende el proyecto de nominalización de Field. ^{[ 1 ]} Entre ellas se incluyen el ficcionalismo de Jody Azzouni y la explicación metafórica del lenguaje matemático propuesta por Stephen Yablo . ^{[ 9 ]} En el capítulo, Colyvan objeta las posturas de Yablo, afirmando que las matemáticas aparecen en las explicaciones científicas y que, cuando se utiliza el lenguaje metafórico en las explicaciones, se emplea como una abreviatura de una explicación no metafórica o bien debe interpretarse literalmente. ^{[ 9 ]}

A continuación de esta discusión, el capítulo 5 trata sobre la explicación matemática y el "giro explicativo" en el debate realismo-antirrealismo en el que el argumento de la indispensabilidad se reformuló en términos del poder explicativo de las matemáticas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Comienza con una consideración de diferentes teorías de la explicación, lo que lleva a Colyvan a abogar por una explicación unificadora. Esta es la visión de que las explicaciones funcionan al reunir múltiples fenómenos diferentes bajo un mismo marco teórico. ^{[ 9 ]} Luego distingue entre explicaciones intramatemáticas, explicaciones matemáticas de hechos matemáticos, y explicaciones extramatemáticas, explicaciones matemáticas de hechos empíricos no matemáticos. ^{[ 4 ]} Utiliza la explicación unificadora para intentar explicar la diferencia entre las demostraciones matemáticas que son explicativas y las que no lo son, ^{[ 9 ]} citando las demostraciones del teorema de Euclides , el teorema de Rolle y la fórmula para la suma de los primeros n números naturales como ejemplos de demostraciones no explicativas. ^{[ 2 ]} A continuación, pasa a las explicaciones extramatemáticas, argumentando que las matemáticas son más que una simple herramienta descriptiva y que proporcionan explicaciones genuinas de hechos empíricos. ^{[ 7 ]} Presenta ejemplos de las explicaciones matemáticas de los ciclos de vida de las cigarras periódicas , la razón por la que el panal de las abejas tiene una estructura hexagonal, la distribución de asteroides en el Sistema Solar y la contracción de Lorentz para respaldar su argumento. ^{[ 7 ]}

El capítulo 6 trata sobre la aplicabilidad de las matemáticas y su " eficacia irrazonable " cuando se aplican en la ciencia. ^{[ 2 ] [ 5 ]} Para ilustrar la eficacia irrazonable de las matemáticas, Colyvan escribe sobre cómo James Clerk Maxwell formuló la ley de Maxwell-Ampère como un análogo de la teoría gravitacional newtoniana, pero que produjo predicciones completamente novedosas que terminaron confirmándose. ^{[ 2 ]} Intenta explicar esta eficacia irrazonable proporcionando una explicación de la aplicación matemática mediante un mapeo. ^{[ 1 ] [ 9 ]} Según esta explicación, los modelos matemáticos actúan como mapas de sistemas físicos al abstraerse de los detalles particulares para centrarse en características más estructurales del sistema. ^{[ 9 ]} De esta manera, las estructuras abstractas de las matemáticas pueden usarse para representar sistemas físicos a través de relaciones de similitud. ^{[ 8 ]} Colyvan presenta el estudio de caso de modelos matemáticos en ecología de poblaciones para ilustrar esta explicación de mapeo. ^{[ 8 ]}

El capítulo 7 explora cuestiones relacionadas con las matemáticas y la lógica paraconsistentes . ^{[ 5 ] [ 9 ]} Colyvan argumenta que la teoría matemática puede ser inconsistente sin dejar de ser útil, señalando la teoría ingenua de conjuntos y el cálculo infinitesimal temprano como ejemplos de teorías matemáticas que posteriormente se demostró que eran inconsistentes, pero que fueron fructíferamente desarrolladas por matemáticos. ^{[ 7 ]} También propone que la lógica utilizada por los matemáticos debe ser algún tipo de lógica tolerante a las contradicciones o paraconsistente en lugar de la lógica clásica para dar cuenta de este hecho. ^{[ 2 ] [ 5 ]} Proporciona la Lógica de la Paradoja (LP) como ejemplo de dicha lógica paraconsistente que no conduce al principio de explosión mediante el uso de tablas de verdad modificadas y un tercer valor de verdad i que sugiere que debería denominarse "verdadero y falso". ^{[ 7 ]}

El capítulo 8 trata sobre la importancia filosófica de la notación matemática . ^{[ 9 ]} Colyvan argumenta que el progreso matemático a veces puede atribuirse a cambios en la notación. ^{[ 1 ]} El capítulo incluye varios ejemplos para apoyar esta idea. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, Colyvan dice que el cambio de los números romanos a los números arábigos podría haber impulsado el progreso matemático porque los números arábigos, a diferencia de los romanos, tienen recursión incorporada. ^{[ 1 ]} Otro ejemplo proporcionado es la relevancia de la notación matemática en la demostración de la imposibilidad de cuadrar el círculo , que se utiliza para ilustrar la idea de que el mismo procedimiento representado de diferentes maneras puede revelar conexiones no obvias dentro de las matemáticas. ^{[ 9 ]} El capítulo también considera la importancia de la definición en matemáticas utilizando el ejemplo de la definición evolutiva del término poliedro . ^{[ 7 ]}

El epílogo se titula «Teoremas de una isla desierta» y contiene una lista de 20 teoremas importantes y 5 problemas abiertos que Colyvan cree que todo filósofo de las matemáticas debería conocer. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 7 ]} También hay una lista de dos páginas de «números interesantes». ^{[ 5 ]} Después de cada elemento, se incluyen breves análisis sobre la importancia filosófica y el impacto de cada uno de estos teoremas, problemas y números. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

El enfoque contemporáneo del libro fue recibido con elogios. Noah Friedman-Biglin, en su reseña para Metascience , consideró que esta característica del libro era "distintiva" y elogió la cobertura de la explicación matemática, a la que calificó como "un tema que está atrayendo el interés de muchos filósofos de las matemáticas profesionales en la actualidad". ^{[ 9 ]} Richard Pettigrew, en su reseña para The Bulletin of Symbolic Logic , opinó que el libro "realmente comienza" en el capítulo 5, donde pasa de una "presentación bastante estándar, aunque admirablemente clara, de material ya conocido" a "una exploración apasionante de temas incipientes sobre los que aún existe relativamente poca bibliografía". Añadió que el uso de ejemplos al explorar estos temas, en lugar de argumentos completamente desarrollados, era una característica del libro que "incitará [a los estudiantes] a formular sus propias hipótesis y argumentos filosóficos con mayor facilidad que los libros de texto más tradicionales". Concluyó que «si bien algunas partes del libro podrían carecer de un poco del detalle y rigor que me gustaría que los futuros estudiantes del tema valoraran, Colyvan ha escrito el primer libro de texto que introduce al estudiante en el período actual de la filosofía de las matemáticas». ^{[ 2 ]} En una reseña en Teaching Philosophy , Carl Wagner dijo que «Colyvan tiene un verdadero talento para transmitir la emoción de estos debates en curso y animar a los lectores a desarrollar sus propias opiniones sobre estos temas». Describió el capítulo 5 como «[sobresaliente] incluso de los demás capítulos uniformemente excelentes de este libro» y elogió específicamente su cobertura de las explicaciones extramatemáticas por ser «particularmente interesante». ^{[ 7 ]} Jean-Pierre Marquis caracterizó el libro en Mathematical Reviews como «una cálida brisa después de un frío invierno en la atmósfera enrarecida de la filosofía de las matemáticas». Argumentó que «[p]rovemente, el campo se ha estancado en la era del formalismo, el logicismo y el intuicionismo» y que, en cuanto a su objetivo de presentar material más contemporáneo, el libro fue «un éxito rotundo». ^{[ 3 ]} El enfoque contemporáneo del libro, así como su uso de matemáticas reales, también fueron identificados como aspectos interesantes por Mark Hunacek, quien reseñó el libro para la Asociación Matemática de América . ^{[ 6 ]}

El libro también fue ampliamente caracterizado como accesible y bien escrito. David Irvine dijo en una reseña en Philosophia Mathematica que el libro estaba entre los mejores libros de texto sobre filosofía de las matemáticas publicados desde 2000, junto con Philosophies of Mathematics de Alexander George y Daniel Velleman , Thinking about Mathematics de Stewart Shapiro y Set Theory and Its Philosophy de Michael Potter . Dijo que la "habilidad del libro para ir directamente al meollo del asunto" significaba que "[n]o era abrumador" y concluyó que era "un placer enseñar con él y [que podía] informar que los estudiantes que se acercaban por primera vez a temas de filosofía de las matemáticas lo habían encontrado accesible y estimulante". ^{[ 4 ]} Zach Weber dijo sobre el libro en Australasian Journal of Philosophy que "Colyvan ha condensado su propio cuerpo de investigación en un libro de texto muy accesible". ^{[ 5 ]} En una reseña en Philosophy in Review , Sam Baron calificó el libro de "bellamente escrito" y dijo que "[ejemplifica] las características clave que debe tener un libro de texto de filosofía: es claro, dinámico y agradable de leer". ^{[ 1 ]} Hunacek describió el libro como "dinámico y entretenido", así como "un libro ameno e interesante con una agenda que lo distingue de muchos otros libros sobre [filosofía de las matemáticas]". ^{[ 6 ]} Cristian Soto reseñó el libro en Critica: Revista Hispanoamericana de Filosofía , calificándolo como "un preámbulo preciso y accesible a algunos de los enigmas más interesantes de la [filosofía de las matemáticas]". ^{[ 8 ]} Noah Friedman-Biglin, en Metascience , elogió el estilo de escritura del libro como "accesible" y lo caracterizó como "una excelente contribución a un campo saturado: proporciona una introducción lúcida y no técnica a algunos temas de la literatura actual sobre filosofía de las matemáticas". ^{[ 9 ]} Marquis dijo que el libro estaba "muy bien escrito y era un placer leerlo" y que los capítulos eran "cortos, claros y bien estructurados". ^{[ 3 ]}

El público objetivo del libro y su idoneidad como texto para un curso universitario fueron analizados en varias reseñas. Baron opinó que el tratamiento accesible de los resultados matemáticos, junto con la forma en que «entrelaza a la perfección el material introductorio sobre el debate del realismo matemático con la investigación más reciente», lo hacía apropiado para cursos de pregrado o posgrado. También señaló que el libro «cubre una gama sorprendentemente amplia de temas», lo que, en su opinión, aumentaba su utilidad para crear cursos con diferentes enfoques. ^{[ 1 ]} Friedman-Biglin opinó que «los estudiantes encontrarán en este libro un excelente punto de partida para estudiar filosofía de las matemáticas, y podría servir fácilmente como base para un curso interesante para estudiantes de pregrado». ^{[ 9 ]} Weber consideró que el «estilo conversacional y el ritmo ágil» del libro lo hacían «claramente diseñado para un curso dinámico de pregrado». Sin embargo, opinó que el libro era breve, más adecuado para un curso de medio semestre o de verano, o como punto de partida para debates. ^{[ 5 ]} Hunacek dijo que su principal preocupación con el libro era su corta extensión, lo que le hizo preguntarse si podría servir para un curso de un semestre completo. No obstante, consideró que "tiene un valor considerable aparte de su uso como texto [de curso]" y dijo que "un matemático podría disfrutar leyéndolo (como yo lo hice) como una forma de aprender, de manera amena y entretenida, sobre ideas interesantes". En general, dijo que disfrutó del libro y lo recomendó. ^{[ 6 ]} Wagner dijo: "Este libro, aunque quizás escrito principalmente para estudiantes de filosofía, también podría ser muy provechoso para estudiantes y profesores de matemáticas. De hecho, este reseñador espera usarlo tanto en un curso final para estudiantes de matemáticas de pregrado como en un seminario de posgrado para profesores de matemáticas de secundaria". ^{[ 7 ]} Soto recomendó de manera similar el libro para matemáticos y científicos, así como para filósofos, diciendo que proporcionaba una "guía perspicaz para los debates que abarcan sus áreas". ^{[ 8 ]}

Algunos críticos analizaron la cobertura de ciertos temas en el libro. Irvine opinó que «Si hay una debilidad en el libro, es que los debates tradicionales sobre logicismo, formalismo e intuicionismo se tratan en menos de media docena de páginas, dejando a los lectores preguntándose a qué venía tanto revuelo». Dijo que si alguna vez se publicara una segunda edición, debería ampliar estos temas. También dijo que habría preferido que el libro incluyera más demostraciones, como una demostración de la paradoja de Russell . ^{[ 4 ]} Baron afirmó de manera similar que algunos podrían encontrar insatisfactoria la breve cobertura de los «grandes ismos», pero argumentó que era apropiada dado que el libro se centra en el tema del realismo, que Baron considera «en gran medida ortogonal a los grandes ismos analizados en el Capítulo Uno». ^{[ 1 ]} En contraste con estos comentarios, Wagner calificó la cobertura de Colyvan de los «grandes ismos» en el capítulo 1 como «una obra maestra de exposición condensada». ^{[ 7 ]} Pettigrew comentó la falta de cobertura de la teoría de categorías , las matemáticas inversas y el razonamiento automatizado y las demostraciones asistidas por computadora , pero continuó diciendo que "ningún libro de texto puede abarcar todos los temas, y uno podría pensar que estos pertenecen más naturalmente a un curso más avanzado en la materia". ^{[ 2 ]} Friedman-Biglin también consideró que temas como el trabajo sobre la naturaleza de la verdad matemática y los fundamentos de las matemáticas faltaban en el libro. Argumentó que Colyvan excluyó estos temas debido a un deseo de que el libro fuera menos técnico, pero consideró que "va demasiado lejos al intentar mitigar su efecto". Sin embargo, opinó que las preocupaciones sobre la falta de detalles matemáticos en algunas áreas no "tienen mucho peso" ya que "la línea principal del argumento en el libro de Colyvan podría haberse oscurecido al incluir demasiados formalismos". ^{[ 9 ]} Marquis dijo sobre el tema que "Se podría discutir sobre este o aquel tema, esta o aquella referencia, pero creo que estas críticas no darían en el clavo. Como introducción al campo, la elección de los temas propuestos está totalmente justificada". ^{[ 3 ]}

Pettigrew dijo del epílogo que habría preferido que abarcara menos teoremas y más demostraciones y aplicaciones. No obstante, afirmó que «sin duda es un recurso valioso para un estudiante que se inicia en la filosofía de las matemáticas sin una sólida formación matemática». ^{[ 2 ]} Hunacek dijo estar «perplejo» por la inclusión del epílogo, que según él contenía elementos que «parecían no tener una importancia filosófica particular». ^{[ 6 ]} Wagner elogió el epílogo, calificándolo de «excelente», aunque sugirió algunos cambios en la presentación de los teoremas tratados. ^{[ 7 ]} Weber elogió las lecturas complementarias como «excelentes guías para estudios posteriores». ^{[ 7 ]} Marquis también elogió la inclusión de preguntas para la discusión y lecturas complementarias, calificándola de «una iniciativa maravillosa». ^{[ 3 ]}

• Introducción a la filosofía de las matemáticas en Cambridge University Press