Método de elementos analíticos

El método de elementos analíticos ( AEM ) es un método numérico utilizado para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Fue desarrollado inicialmente por ODL Strack en la Universidad de Minnesota . Es similar al método de elementos de contorno (BEM), ya que no se basa en la discretización de volúmenes o áreas en el sistema modelado; solo se discretizan los contornos internos y externos. Una de las principales distinciones entre AEM y BEM es que las integrales de contorno se calculan analíticamente. Aunque originalmente se desarrolló para modelar el flujo de agua subterránea, ^{[ 4 ]} AEM se ha aplicado posteriormente a otros campos de estudio, incluyendo estudios de flujo y conducción de calor, ondas periódicas y deformación por fuerza. ^{[ 5 ]}

La premisa básica del método de elementos analíticos es que, para ecuaciones diferenciales lineales , las soluciones elementales pueden superponerse para obtener soluciones más complejas. Se dispone de un conjunto de soluciones analíticas bidimensionales y tridimensionales ("elementos") para diferentes ecuaciones diferenciales. Estos elementos suelen corresponder a una discontinuidad en la variable dependiente o su gradiente a lo largo de un límite geométrico (p. ej., punto, línea, elipse, círculo, esfera, etc.). Esta discontinuidad tiene una forma funcional específica (generalmente un polinomio en 2D) y puede manipularse para satisfacer condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann o Robin (mixtas). Cada solución analítica es infinita en el espacio y/o el tiempo.

Generalmente, cada solución analítica contiene grados de libertad (coeficientes) que pueden calcularse para satisfacer las condiciones de contorno prescritas a lo largo del borde del elemento. Para obtener una solución global (es decir, los coeficientes correctos del elemento), se resuelve un sistema de ecuaciones de manera que las condiciones de contorno se satisfagan a lo largo de todos los elementos (utilizando colocación , minimización por mínimos cuadrados o un método similar). Cabe destacar que la solución global proporciona una descripción espacialmente continua de la variable dependiente en todo el dominio infinito, y la ecuación que rige el sistema se satisface exactamente en todas partes, excepto a lo largo del borde del elemento, donde la ecuación no es estrictamente aplicable debido a la discontinuidad.

La capacidad de superponer numerosos elementos en una sola solución permite obtener soluciones analíticas para condiciones de contorno de complejidad arbitraria. Es decir, se pueden resolver modelos con geometrías complejas, contornos rectos o curvos, múltiples contornos, condiciones de contorno transitorias, múltiples capas de acuífero, propiedades que varían por tramos y propiedades que varían continuamente. Los elementos se pueden implementar mediante expansiones de campo lejano, lo que permite resolver de forma eficiente y con alta precisión modelos que contienen miles de elementos.

El método de elementos analíticos se ha aplicado a problemas de flujo de agua subterránea regidos por diversas ecuaciones diferenciales parciales lineales, incluyendo la ecuación de Laplace , la ecuación de Poisson , la ecuación de Helmholtz modificada, ^{[ 6 ]} la ecuación del calor y las ecuaciones biarmónicas . A menudo, estas ecuaciones se resuelven utilizando variables complejas, lo que permite emplear técnicas matemáticas disponibles en la teoría de variables complejas. Una técnica útil para resolver problemas complejos es el mapeo conforme, que transforma el contorno de una geometría, por ejemplo, una elipse, en el contorno del círculo unitario donde se conoce la solución.

En el método de elementos analíticos se utilizan el potencial de descarga y la función de corriente , o bien, el potencial complejo combinado. Este potencial vincula las propiedades físicas del sistema de aguas subterráneas, la carga hidráulica o los límites de flujo, con una representación matemática del potencial. Esta representación matemática permite calcular el potencial en función de la posición y, por lo tanto, resolver problemas de flujo de aguas subterráneas. Los elementos se desarrollan resolviendo las condiciones de contorno para cualquiera de estas dos propiedades, carga hidráulica o límite de flujo, lo que da como resultado soluciones analíticas capaces de abordar numerosas condiciones de contorno.

Como se mencionó, el método de elementos analíticos no depende de la discretización del volumen o área en el modelo, como en los métodos de elementos finitos o diferencias finitas . Por lo tanto, puede modelar problemas complejos con un error del orden de la precisión de la máquina. Esto se ilustra en un estudio que modeló un acuífero isotrópico altamente heterogéneo al incluir 100 000 heterogeneidades esféricas con una conductividad aleatoria y rastrear 40 000 partículas. ^{[ 7 ]} El método de elementos analíticos puede utilizarse eficazmente como herramienta de verificación o de selección en proyectos de mayor envergadura, ya que puede calcular de forma rápida y precisa el flujo de agua subterránea para muchos problemas complejos. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

A diferencia de otros métodos de modelado de aguas subterráneas comúnmente utilizados, como el método de elementos finitos o el de diferencias finitas , el AEM no discretiza el dominio del modelo en celdas. Esto ofrece la ventaja de que el modelo es válido para cualquier punto del dominio. Sin embargo, también implica que el dominio no se puede dividir tan fácilmente en regiones con diferente conductividad hidráulica, como ocurre al modelar con una malla de celdas; no obstante, una solución a este problema consiste en incluir subdominios en el modelo AEM. ^{[ 10 ]} También existen soluciones para implementar propiedades o estructuras que varían verticalmente en un acuífero dentro de un modelo AEM. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

• Método de elementos de contorno
• Mapeo conforme
• Principio de superposición

• Haitjema , HM (1995). Modelado de elementos analíticos del flujo de aguas subterráneas (PDF) . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3.
• Strack, ODL (1989). Mecánica de aguas subterráneas . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
• Fitts, CR (2012). Ciencia de las aguas subterráneas (2.ª  ed.). San Diego, CA: Elsevier/Academic Press. ISBN 9780123847058.

• Sitio web de la comunidad de elementos analíticos
• Sitio web de Fitts Geolsolutions, AnAqSim (simulador analítico de acuíferos) y AnAqSimEDU (gratuito).