Teorema analítico de Fredholm

En matemáticas , el teorema analítico de Fredholm es un resultado relativo a la existencia de inversas acotadas para una familia de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert . Es la base de dos teoremas clásicos e importantes: la alternativa de Fredholm y el teorema de Hilbert-Schmidt . El resultado recibe su nombre del matemático sueco Erik Ivar Fredholm .

Sea G ⊆ C un dominio (un conjunto abierto y conexo ). Sea ( H , ⟨ , ⟩) un espacio de Hilbert real o complejo y sea Lin( H ) el espacio de operadores lineales acotados de H en sí mismo; sea I el operador identidad . Sea B : G → Lin( H ) una aplicación tal que 

• B es analítica en G en el sentido de que el límite$${\displaystyle \lim _{\lambda \to \lambda _{0}}{\frac {B(\lambda )-B(\lambda _{0})}{\lambda -\lambda _{0}}}}$$existe para todo λ ₀ ∈ G ; y
• El operador B ( λ ) es un operador compacto para cada λ ∈ G .

Entonces o

• ( I − B ( λ )) ⁻¹ no existe para ningún λ ∈ G ; o
• ( I − B ( λ )) ⁻¹ existe para todo λ ∈ G \ S , donde S es un subconjunto discreto de G (es decir, S no tiene puntos límite en G ). En este caso, la función que lleva λ a ( I − B ( λ )) ⁻¹ es analítica en G \ S y, si λ ∈ S , entonces la ecuación$${\displaystyle B(\lambda )\psi =\psi }$$tiene una familia de soluciones de dimensión finita.

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas 13 (Segunda  edición). Nueva York: Springer-Verlag. pág.  266. ISBN 0-387-00444-0.(Teorema 8.92)