Geometría analítica

En matemáticas , la geometría analítica , también conocida como geometría de coordenadas o geometría cartesiana , es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas . Esto contrasta con la geometría sintética .

La geometría analítica se utiliza en física e ingeniería , así como en aviación , cohetería , ciencia espacial , vuelos espaciales , estadística , economía y ciencias sociales . Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluyendo la geometría algebraica , diferencial , discreta y computacional .

Generalmente, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones de planos, líneas rectas y círculos, a menudo en dos y, a veces, tres dimensiones. Geométricamente, se estudia el plano euclidiano (dos dimensiones) y el espacio euclidiano. Tal como se enseña en los libros de texto, la geometría analítica se puede explicar de forma más sencilla: se ocupa de definir y representar figuras geométricas numéricamente y de extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las figuras. Que el álgebra de los números reales pueda emplearse para obtener resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind .

Historia

Grecia antigua

El matemático griego Menaechmus resolvió problemas y demostró teoremas utilizando un método que guardaba un gran parecido con el uso de coordenadas, y en ocasiones se ha sostenido que introdujo la geometría analítica. ^{[ 1 ]}

Apolonio de Perga , en Sobre la sección determinada , abordó problemas de una manera que puede denominarse geometría analítica unidimensional; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estuvieran en proporción con los demás. ^{[ 2 ]} Apolonio, en Las cónicas, desarrolló aún más un método tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su obra anticipó la de Descartes en unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no difiere esencialmente de nuestro uso moderno de un sistema de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrolló además relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a ecuaciones retóricas (expresadas en palabras) de curvas. Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no lo logró, ya que no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y, en todos los casos, el sistema de coordenadas se superponía a posteriori sobre una curva dada, en lugar de a priori . Es decir, las ecuaciones se determinaban mediante curvas, pero las curvas no se determinaban mediante ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica. ^{[ 3 ]}

Persia

El matemático persa del siglo XI, Omar Khayyam, percibió una fuerte relación entre la geometría y el álgebra y avanzaba en la dirección correcta al contribuir a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y la geométrica ^{[ 4 ]} con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales ^{[ 5 ]} , pero el paso decisivo llegó más tarde con Descartes ^{[ 4 ]} . A Omar Khayyam se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica , y su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios de la geometría analítica, forma parte del corpus de matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa ^{[ 6 ]} . Debido a su exhaustivo enfoque geométrico de las ecuaciones algebraicas, Khayyam puede considerarse un precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica ^{[ 7 ]}^{: 248.}

Europa Occidental

La geometría analítica fue inventada independientemente por René Descartes y Pierre de Fermat , ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} aunque a veces se le atribuye el mérito exclusivamente a Descartes. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} La geometría cartesiana , término alternativo utilizado para la geometría analítica, recibe su nombre de Descartes.

Descartes realizó importantes avances en los métodos en un ensayo titulado La Géométrie (Geometría) , uno de los tres ensayos (apéndices) que acompañaban a su obra Discurso del método para dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias , comúnmente conocido como Discurso del método . La Géométrie , escrita en su lengua materna , el francés , y sus principios filosóficos sentaron las bases del cálculo en Europa. Inicialmente, la obra no fue bien recibida, debido, en parte, a las numerosas lagunas argumentativas y a las complejas ecuaciones. Solo después de la traducción al latín y la adición de comentarios de van Schooten en 1649 (y trabajos posteriores) la obra maestra de Descartes recibió el reconocimiento que merecía. ^[¹²^]

Pierre de Fermat también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. Aunque no se publicó en vida, un manuscrito de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos) circulaba en París en 1637, justo antes de la publicación del Discurso de Descartes . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Escrita con claridad y bien recibida, la Introducción también sentó las bases de la geometría analítica. La diferencia clave entre los tratamientos de Fermat y Descartes es una cuestión de perspectiva: Fermat siempre partía de una ecuación algebraica y luego describía la curva geométrica que la satisfacía, mientras que Descartes partía de curvas geométricas y producía sus ecuaciones como una de las propiedades de las curvas. ^{[ 12 ]} Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complejas y tuvo que desarrollar métodos para trabajar con ecuaciones polinómicas de grado superior. Fue Leonhard Euler quien aplicó por primera vez el método de coordenadas en un estudio sistemático de curvas y superficies espaciales.

Coordenadas

En geometría analítica, al plano se le da un sistema de coordenadas, en el que cada punto tiene un par de coordenadas reales . De manera similar, al espacio euclidiano se le dan coordenadas, donde cada punto tiene tres coordenadas. El valor de las coordenadas depende de la elección del punto de origen inicial. Existen diversos sistemas de coordenadas, pero los más comunes son los siguientes: ^{[ 16 ]}

Coordenadas cartesianas (en un plano o espacio)

El sistema de coordenadas más común es el sistema cartesiano , donde cada punto tiene una coordenada x que representa su posición horizontal y una coordenada y que representa su posición vertical. Estas se suelen escribir como un par ordenado ( x , y ). Este sistema también se puede utilizar para geometría tridimensional, donde cada punto en el espacio euclidiano se representa mediante una terna ordenada de coordenadas ( x , y , z ).

Coordenadas polares (en un plano)

{\displaystyle \theta } — Tres vectores en el sistema de coordenadas polares, todos originados en el origen con ángulos diferentes. $\theta$ pasando por los puntos ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}$ .

En coordenadas polares , cada punto del plano se representa mediante su distancia r al origen y su ángulo θ , donde θ se mide normalmente en sentido antihorario desde el eje x positivo . Con esta notación, los puntos se suelen escribir como un par ordenado ( r , θ ). Se puede transformar entre coordenadas cartesianas y polares bidimensionales utilizando estas fórmulas: ^{[ 17 ]} ${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta$ Este sistema puede generalizarse al espacio tridimensional mediante el uso de coordenadas cilíndricas o esféricas .^{[ 17 ]}

Coordenadas cilíndricas (en un espacio)

En coordenadas cilíndricas , cada punto del espacio está representado por su altura z , su radio r desde el eje z y el ángulo θ que forma su proyección sobre el plano xy con respecto al eje horizontal.

Coordenadas esféricas (en un espacio)

En coordenadas esféricas, cada punto del espacio se representa por su distancia ρ al origen, el ángulo θ que forma su proyección sobre el plano xy con respecto al eje horizontal y el ángulo φ que forma con respecto al eje z . En física, los nombres de los ángulos suelen invertirse. ^{[ 16 ]}

Ecuaciones y curvas

En geometría analítica, cualquier ecuación que involucre coordenadas especifica un subconjunto del plano, es decir, el conjunto solución de la ecuación, o lugar geométrico . Por ejemplo, la ecuación y = x corresponde al conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas x e y son iguales. Estos puntos forman una recta , y se dice que y = x es la ecuación de esta recta. En general, las ecuaciones lineales que involucran x e y especifican rectas, las ecuaciones cuadráticas especifican secciones cónicas , y las ecuaciones más complejas describen figuras más complejas. ^[¹⁸^]

^{Por lo} general, una sola ecuación corresponde a una curva en el plano. Esto no siempre es así: la ecuación trivial ^x= x especifica todo el plano, y la ecuación x² + y² = 0 especifica solo el punto (0, 0). En tres dimensiones, una sola ecuación generalmente da una superficie , y una curva debe especificarse como la intersección de dos superficies ( ^vermás abajo), o como un sistema de ecuaciones paramétricas . ^[¹⁹^] La ecuación x² + y² = ^{r² es la ecuación para cualquier círculo centrado en el origen (0,}⁰ ) con un radio r.

Líneas y planos

Las líneas en un plano cartesiano , o más generalmente, en coordenadas afines , pueden describirse algebraicamente mediante ecuaciones lineales . En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales se suele expresar en la forma pendiente-ordenada al origen : $y=mx+b$ dónde:

m es la pendiente o gradiente de la línea.
b es la intersección de la línea con el eje y.
x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

De manera análoga a como se describen las líneas en un espacio bidimensional utilizando una forma de punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural utilizando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, dejemos $\mathbf {r} _{0}$ sea el vector de posición de algún punto ${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ y dejar $\mathbf {n} =(a,b,c)$ sea un vector distinto de cero. El plano determinado por este punto y vector consta de esos puntos. $P$ , con vector de posición $\mathbf {r}$ , de tal manera que el vector dibujado desde $P_{0}$ a $P$ es perpendicular a $\mathbf {n}$ Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos $\mathbf {r}$ de tal manera que $\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$ (El punto aquí significa un producto escalar , no una multiplicación escalar). Expandido, esto se convierte en $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$ que es la forma normal puntual de la ecuación de un plano. Esta es simplemente una ecuación lineal : $ax+by+cz+d=0,{\text{ donde }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).$ Por el contrario, se demuestra fácilmente que si a , b , c y d son constantes y a , b y c no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación $ax+by+cz+d=0,$ es un plano que tiene el vector $\mathbf {n} =(a,b,c)$ como una ecuación normal. Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano. ^[²⁰^]

En tres dimensiones, las líneas no pueden describirse mediante una sola ecuación lineal, por lo que frecuentemente se describen mediante ecuaciones paramétricas : $x=x_{0}+at$ $y=y_{0}+bt$ $z=z_{0}+ct$ dónde:

x , y y z son todas funciones de la variable independiente t, que toma valores de los números reales.
( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la línea.
a , b y c están relacionados con la pendiente de la línea, de modo que el vector ( a , b , c ) es paralelo a la línea.

Secciones cónicas

En el sistema de coordenadas cartesianas , la gráfica de una ecuación cuadrática con dos variables es siempre una sección cónica, aunque puede ser degenerada, y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación tendrá la forma $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ con }}A,B,C{\text{ no todos cero.}}$ Como al escalar las seis constantes se obtiene el mismo lugar geométrico de ceros, se pueden considerar las cónicas como puntos en el espacio proyectivo pentadimensional. $\mathbf {P} ^{5}.$

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar utilizando el discriminante ^{[ 21 ].}

$B^{2}-4AC.$ Si la cónica no es degenerada, entonces:

si $B^{2}-4AC<0$ $B^{2}-4AC<0$ , la ecuación representa una elipse ;
- si $A=C$ y $B=0$ La ecuación representa un círculo , que es un caso especial de una elipse;
si $B^{2}-4AC=0$ , la ecuación representa una parábola ;
si $B^{2}-4AC>0$ $B^{2}-4AC>0$ , la ecuación representa una hipérbola ;
- si también tenemos $A+C=0$ La ecuación representa una hipérbola rectangular .

Superficies cuádricas

Una cuádrica , o superficie cuádrica , es una superficie bidimensional en un espacio tridimensional definida como el lugar geométrico de los ceros de un polinomio cuadrático . En coordenadas x ₁ , x ₂ , x ₃ , la cuádrica general se define mediante la ecuación algebraica ^[²²^].

$\sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.$

Las superficies cuádricas incluyen elipsoides (incluida la esfera ), paraboloides , hiperboloides , cilindros , conos y planos .

Distancia y ángulo

En geometría analítica, las nociones geométricas como la distancia y la medida _deángulos se definen mediante fórmulas . Estas definiciones están diseñadas para ser consistentes con la geometría euclidiana subyacente . Por ejemplo, utilizando coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos ( x₁ , y₁ ₎ y ( x₂ _,y₂ ₎ se define mediante la fórmula $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$ que puede considerarse una versión del teorema de Pitágoras . De manera similar, el ángulo que forma una línea con la horizontal se puede definir mediante la fórmula $\theta =\arctan(m),$ donde m es la pendiente de la línea.

En tres dimensiones, la distancia viene dada por la generalización del teorema de Pitágoras: $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$ mientras que el ángulo entre dos vectores viene dado por el producto escalar . El producto escalar de dos vectores euclidianos A y B se define por ^{[ 23 ].} $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,$ donde θ es el ángulo entre A y B.

Transformaciones

a) y = f(x) = | x | b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

Las transformaciones se aplican a una función original para convertirla en una nueva función con características similares.

El gráfico de $R(x,y)$ se modifica mediante transformaciones estándar de la siguiente manera:

Cambio $x$ a $xh$ mueve el gráfico hacia la derecha $h$ unidades.
Cambio $y$ a $yk$ mueve el gráfico hacia arriba $k$ unidades.
Cambio $x$ a $x/b$ estira el gráfico horizontalmente por un factor de $b$ . (piensa en el $x$ como si estuviera dilatada)
Cambio $y$ a $y/a$ estira el gráfico verticalmente.
Cambio $x$ a $x\cos A+y\sin A$ y cambiando $y$ a $-x\sin A+y\cos A$ gira el gráfico un ángulo $A$ .

Existen otras transformaciones estándar que no suelen estudiarse en geometría analítica elemental, ya que modifican la forma de los objetos de maneras que normalmente no se consideran. La distorsión angular es un ejemplo de transformación que no se suele tener en cuenta. Para más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre transformaciones afines .

Por ejemplo, la función padre $y=1/x$ tiene una asíntota horizontal y una vertical, y ocupa el primer y tercer cuadrante, y todas sus formas transformadas tienen una asíntota horizontal y una vertical, y ocupan el primer y tercer cuadrante o el segundo y cuarto cuadrante. En general, si $y=f(x)$ , entonces puede transformarse en $y=af(b(xk))+h$ . En la nueva función transformada, $a$ es el factor que estira verticalmente la función si es mayor que 1 o la comprime verticalmente si es menor que 1, y para valores negativos $a$ valores, la función se refleja en el $x$ -eje. El $b$ El valor comprime la gráfica de la función horizontalmente si es mayor que 1 y estira la función horizontalmente si es menor que 1, y como $a$ , refleja la función en el $y$ eje -cuando es negativo. El $k$ y $h$ Los valores introducen traducciones, $h$ , vertical y $k$ horizontal. Positivo $h$ y $k$ Los valores positivos indican que la función se traslada hacia el extremo positivo de su eje, mientras que los negativos indican que se traslada hacia el extremo negativo.

Las transformaciones pueden aplicarse a cualquier ecuación geométrica, independientemente de que represente o no una función. Pueden considerarse como operaciones individuales o combinadas.

Supongamos que $R(x,y)$ es una relación en el $xy$ avión. Por ejemplo, $x^{2}+y^{2}-1=0$ es la relación que describe el círculo unitario.

Encontrar intersecciones de objetos geométricos

Para dos objetos geométricos P y Q representados por las relaciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ La intersección es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ que están en ambas relaciones. ^{[ 24 ]}

Por ejemplo, $P$ podría ser el círculo con radio 1 y centro $(0,0)$ : $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ y $Q$ podría ser el círculo con radio 1 y centro $(1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}$ La intersección de estos dos círculos es el conjunto de puntos que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. ¿El punto $(0,0)$ ¿Hacer que ambas ecuaciones sean verdaderas? Usando $(0,0)$ para $(x,y)$ , la ecuación para $Q$ se convierte $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ o $(-1)^{2}=1$ lo cual es cierto, entonces $(0,0)$ está en la relación $Q$ Por otro lado, todavía usando $(0,0)$ para $(x,y)$ la ecuación para $P$ se convierte $0^{2}+0^{2}=1$ o $0=1$ lo cual es falso. $(0,0)$ no está en $P$ Por lo tanto, no está en la intersección.

La intersección de $P$ y $Q$ Se puede encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

$x^{2}+y^{2}=1$ $(x-1)^{2}+y^{2}=1.$

Los métodos tradicionales para encontrar intersecciones incluyen la sustitución y la eliminación.

Sustitución: Resuelve la primera ecuación para $y$ en términos de $x$ y luego sustituir la expresión por $y$ en la segunda ecuación:

$x^{2}+y^{2}=1$ $y^{2}=1-x^{2}.$

Luego sustituimos este valor por $y^{2}$ en la otra ecuación y proceda a resolver para $x$ : $(x-1)^{2}+(1-x^{2})=1$ $x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1$ $-2x=-1$ $x=1/2.$

A continuación, colocamos este valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para $y$ :

$(1/2)^{2}+y^{2}=1$ $y^{2}=3/4$ $y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.$

Por lo tanto, nuestra intersección tiene dos puntos: $\left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{y}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).$

Eliminación : Sumar (o restar) un múltiplo de una ecuación a la otra ecuación de manera que se elimine una de las variables. En nuestro ejemplo actual, si restamos la primera ecuación de la segunda obtenemos $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ . El $y^{2}$ en la primera ecuación se resta de la $y^{2}$ en la segunda ecuación no queda $y$ término. La variable $y$ ha sido eliminado. Luego resolvemos la ecuación restante para $x$ , del mismo modo que en el método de sustitución:

$x^{2}-2x+1-x^{2}=0$ $-2x=-1$ $x=1/2.$

Luego colocamos este valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para $y$ : $(1/2)^{2}+y^{2}=1$ $y^{2}=3/4$ $y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.$

Por lo tanto, nuestra intersección tiene dos puntos: $\left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{y}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).$

En las secciones cónicas, puede haber hasta 4 puntos en la intersección.

Encontrar intersecciones

Un tipo de intersección que se estudia ampliamente es la intersección de un objeto geométrico con el $x$ y $y$ ejes de coordenadas.

La intersección de un objeto geométrico y el $y$ El eje -se llama $y$ -intersección del objeto. La intersección de un objeto geométrico y el $x$ El eje -se llama $x$ -intercepción del objeto.

Para la línea $y=mx+b$ , el parámetro $b$ especifica el punto donde la línea cruza la $y$ eje. Dependiendo del contexto, cualquiera $b$ o el punto $(0,b)$ se llama el $y$ -interceptar.

Eje geométrico

En geometría, un eje es la línea perpendicular a cualquier línea, objeto o superficie.

También se puede utilizar para esto el uso común del lenguaje como: línea normal (perpendicular), o en ingeniería como línea axial .

En geometría , una normal es un objeto, como una línea o un vector, que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, en el caso bidimensional, la normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la tangente a la curva en ese punto.

En el caso tridimensional , una normal a una superficie en un punto P es un vector perpendicular al plano tangente a dicha superficie en P. La palabra "normal" también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano , la componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad .

Planos esféricos y no lineales y sus tangentes

La tangente es la aproximación lineal de una función a partir de una línea esférica o cualquier otra línea curva o retorcida.

Líneas y planos tangentes

En geometría , la recta tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es la recta que "toca" la curva en ese punto. De manera informal, es una recta que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una recta es tangente a una curva y = f ( x ) en un punto x = c de la curva si la recta pasa por el punto ( c , f ( c )) de la curva y tiene una pendiente f ' ( c ), donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas en el espacio euclidiano n- dimensional .

Al pasar por el punto donde se encuentran la línea tangente y la curva, llamado punto de tangencia , la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto.

De forma similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales de la geometría diferencial y se ha generalizado ampliamente; véase Espacio tangente .

Véase también

Notas

↑ Boyer, Carl B. (1991). «La época de Platón y Aristóteles» . Historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. págs. 94-95 . ISBN 0-471-54397-7Menaechmus aparentemente derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras más. Dado que este material guarda una gran semejanza con el uso de coordenadas, como se ilustra anteriormente, a veces se ha sostenido que Menaechmus poseía geometría analítica. Tal afirmación solo se justifica parcialmente , pues sin duda Menaechmus desconocía que cualquier ecuación con dos incógnitas determina una curva. De hecho, el concepto general de una ecuación con incógnitas era ajeno al pensamiento griego. Fueron las deficiencias en la notación algebraica las que, más que ninguna otra cosa, obstaculizaron el logro griego de una geometría analítica completa.
↑ Boyer, Carl B. (1991). «Apolonio de Perga» . Historia de las matemáticas (Segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. pp . 142. ISBN 0-471-54397-7El tratado apolíneo Sobre la sección determinada abordaba lo que podría denominarse geometría analítica unidimensional. Consideraba el siguiente problema general, utilizando el análisis algebraico griego típico en forma geométrica: dados cuatro puntos A, B, C y D en una línea recta, determinar un quinto punto P sobre ella tal que el rectángulo formado por AP y CP guarde una proporción dada con el rectángulo formado por BP y DP. En este caso, el problema también se reduce fácilmente a la solución de una ecuación cuadrática; y, como en otros casos, Apolonio trató la cuestión exhaustivamente, incluyendo los límites de posibilidad y el número de soluciones.
↑ Boyer, Carl B. (1991). «Apolonio de Perga» . Historia de las matemáticas (Segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. pp . 156. ISBN 0-471-54397-7El método de Apolonio en las Cónicas es, en muchos aspectos, tan similar al enfoque moderno que su obra a veces se considera una geometría analítica que se adelantó 1800 años a la de Descartes. La aplicación de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en su extremo en particular, no difiere esencialmente del uso de un sistema de coordenadas, ya sea rectangular o, más generalmente, oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. La relación apolínea entre estas abscisas y las ordenadas correspondientes no son más que formas retóricas de las ecuaciones de las curvas. Sin embargo, el álgebra geométrica griega no contemplaba magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superponía siempre a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades. Al parecer, en la geometría antigua no existen casos en los que se estableciera a priori un sistema de coordenadas para la representación gráfica de una ecuación o relación, ya sea expresada simbólica o retóricamente. De la geometría griega podemos decir que las ecuaciones están determinadas por curvas, pero no que las curvas estén determinadas por ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias derivadas de una situación geométrica específica; [...] Que Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no desarrollara la geometría analítica, probablemente se debió a la escasez de curvas más que a la falta de pensamiento. Los métodos generales no son necesarios cuando los problemas siempre se refieren a uno de un número limitado de casos particulares.
1 2 Boyer (1991). «La hegemonía árabe» . Historia de las matemáticas . págs. 241-242 . ISBN 9780471543978Omar Khayyam (ca. 1050–1123), el «fabricante de tiendas», escribió un álgebra que iba más allá de la de al-Juarismi e incluía ecuaciones de tercer grado. Al igual que sus predecesores árabes, Omar Khayyam proporcionó soluciones tanto aritméticas como geométricas para ecuaciones cuadráticas; para ecuaciones cúbicas generales, creía (erróneamente, como demostró posteriormente el siglo XVI) que las soluciones aritméticas eran imposibles; por lo tanto, solo ofreció soluciones geométricas. El método de usar cónicas secantes para resolver ecuaciones cúbicas ya había sido utilizado por Menaechmus, Arquímedes y Alhazan, pero Omar Khayyam dio el loable paso de generalizar el método para abarcar todas las ecuaciones de tercer grado (con raíces positivas). Para ecuaciones de grado superior a tres, Omar Khayyam evidentemente no previó métodos geométricos similares, ya que el espacio no contiene más de tres dimensiones... Una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe fue la tendencia a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y la geométrica. El paso decisivo en esta dirección llegó mucho más tarde con Descartes, pero Omar Khayyam ya se movía en esta dirección cuando escribió: «Quien piense que el álgebra es un truco para obtener incógnitas se equivoca. No hay que prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que se demuestran».
↑ Cooper, Glen M. (2003). "Reseña: Omar Khayyam, el matemático por R. Rashed, B. Vahabzadeh". The Journal of the American Oriental Society . 123 (1): 248– 249. doi : 10.2307/3217882 . JSTOR 3217882 .
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↑ Stillwell, John (2004). «Geometría analítica». Matemáticas e historia (Segunda edición). Springer Science + Business Media Inc. pág. 105. ISBN 0-387-95336-1Los dos fundadores de la geometría analítica, Fermat y Descartes, estuvieron fuertemente influenciados por estos avances .
↑ Boyer 2004 , pág. 74
↑ Cooke, Roger (1997). «El cálculo» . Historia de las matemáticas: Un breve curso . Wiley-Interscience. 326 págs . ISBN 0-471-18082-3La persona a la que popularmente se le atribuye el descubrimiento de la geometría analítica fue el filósofo René Descartes (1596-1650), uno de los pensadores más influyentes de la era moderna .
↑ Boyer 2004 , pág. 82
1 2 Katz 1998 , pág. 442
↑ Katz 1998 , pág. 436
↑ Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, Francia: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge", págs. 91-103. Archivado el 4 de agosto de 2015 en Wayback Machine.
^ "Eloge de Monsieur de Fermat" Archivado el 4 de agosto de 2015 en Wayback Machine (Elogio del Sr. de Fermat), Le Journal des Scavans , 9 de febrero de 1665, págs . De la pág. 70: "Una introducción aux lieux, planes & solides; qui est un traité analytique concernant la solución des problemas de planes & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet". (Una introducción a los lugares geométricos, planos y sólidos; que es un tratado analítico sobre la solución de problemas planos y sólidos, que se vio antes de que el Sr. des Cartes publicara algo sobre este tema).
1 2 Stewart, James (2008). Cálculo: Primeros trascendentales , 6.ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
1 2 Wilson, Wallace Alvin; Tracey, Joshua Irving (1937). Geometría analítica ( edición alternativa). Boston, Nueva York : DC Heath and Company . págs. 153–155 , 283–284 . LCCN 37002786. OCLC 530055 .
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↑ Fanchi, John R. (2006), Repaso de matemáticas para científicos e ingenieros , John Wiley and Sons, págs. 44–45 , ISBN 0-471-75715-2Sección 3.2 , página 45
↑ Silvio Levy Quadrics Archivado el 18/07/2018 en Wayback Machine en "Geometry Formulas and Facts", extracto de la 30.ª edición de CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , CRC Press , del Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota
↑ Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (esquemas de Schaum) (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
↑ Si bien esta discusión se limita al plano xy, se puede extender fácilmente a dimensiones superiores.

Referencias

Libros

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Artículos

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Pecl, J., Newton y la geometría analítica

Enlaces externos

Temas de geometría analítica con animaciones interactivas.

[1] Boyer, Carl B. (1991). «La época de Platón y Aristóteles» . Historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. págs. 94-95 . ISBN 0-471-54397-7Menaechmus aparentemente derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras más. Dado que este material guarda una gran semejanza con el uso de coordenadas, como se ilustra anteriormente, a veces se ha sostenido que Menaechmus poseía geometría analítica. Tal afirmación solo se justifica parcialmente , pues sin duda Menaechmus desconocía que cualquier ecuación con dos incógnitas determina una curva. De hecho, el concepto general de una ecuación con incógnitas era ajeno al pensamiento griego. Fueron las deficiencias en la notación algebraica las que, más que ninguna otra cosa, obstaculizaron el logro griego de una geometría analítica completa.

[2] Boyer, Carl B. (1991). «Apolonio de Perga» . Historia de las matemáticas (Segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. pp . 142. ISBN 0-471-54397-7El tratado apolíneo Sobre la sección determinada abordaba lo que podría denominarse geometría analítica unidimensional. Consideraba el siguiente problema general, utilizando el análisis algebraico griego típico en forma geométrica: dados cuatro puntos A, B, C y D en una línea recta, determinar un quinto punto P sobre ella tal que el rectángulo formado por AP y CP guarde una proporción dada con el rectángulo formado por BP y DP. En este caso, el problema también se reduce fácilmente a la solución de una ecuación cuadrática; y, como en otros casos, Apolonio trató la cuestión exhaustivamente, incluyendo los límites de posibilidad y el número de soluciones.

[3] Boyer, Carl B. (1991). «Apolonio de Perga» . Historia de las matemáticas (Segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. pp . 156. ISBN 0-471-54397-7El método de Apolonio en las Cónicas es, en muchos aspectos, tan similar al enfoque moderno que su obra a veces se considera una geometría analítica que se adelantó 1800 años a la de Descartes. La aplicación de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en su extremo en particular, no difiere esencialmente del uso de un sistema de coordenadas, ya sea rectangular o, más generalmente, oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. La relación apolínea entre estas abscisas y las ordenadas correspondientes no son más que formas retóricas de las ecuaciones de las curvas. Sin embargo, el álgebra geométrica griega no contemplaba magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superponía siempre a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades. Al parecer, en la geometría antigua no existen casos en los que se estableciera a priori un sistema de coordenadas para la representación gráfica de una ecuación o relación, ya sea expresada simbólica o retóricamente. De la geometría griega podemos decir que las ecuaciones están determinadas por curvas, pero no que las curvas estén determinadas por ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias derivadas de una situación geométrica específica; [...] Que Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no desarrollara la geometría analítica, probablemente se debió a la escasez de curvas más que a la falta de pensamiento. Los métodos generales no son necesarios cuando los problemas siempre se refieren a uno de un número limitado de casos particulares.

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-4] 1 2 Boyer (1991). «La hegemonía árabe» . Historia de las matemáticas . págs. 241-242 . ISBN 9780471543978Omar Khayyam (ca. 1050–1123), el «fabricante de tiendas», escribió un álgebra que iba más allá de la de al-Juarismi e incluía ecuaciones de tercer grado. Al igual que sus predecesores árabes, Omar Khayyam proporcionó soluciones tanto aritméticas como geométricas para ecuaciones cuadráticas; para ecuaciones cúbicas generales, creía (erróneamente, como demostró posteriormente el siglo XVI) que las soluciones aritméticas eran imposibles; por lo tanto, solo ofreció soluciones geométricas. El método de usar cónicas secantes para resolver ecuaciones cúbicas ya había sido utilizado por Menaechmus, Arquímedes y Alhazan, pero Omar Khayyam dio el loable paso de generalizar el método para abarcar todas las ecuaciones de tercer grado (con raíces positivas). Para ecuaciones de grado superior a tres, Omar Khayyam evidentemente no previó métodos geométricos similares, ya que el espacio no contiene más de tres dimensiones... Una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe fue la tendencia a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y la geométrica. El paso decisivo en esta dirección llegó mucho más tarde con Descartes, pero Omar Khayyam ya se movía en esta dirección cuando escribió: «Quien piense que el álgebra es un truco para obtener incógnitas se equivoca. No hay que prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que se demuestran».

[5] Cooper, Glen M. (2003). "Reseña: Omar Khayyam, el matemático por R. Rashed, B. Vahabzadeh". The Journal of the American Oriental Society . 123 (1): 248– 249. doi : 10.2307/3217882 . JSTOR 3217882 .

[6] Obras maestras matemáticas: Crónicas adicionales de los exploradores , pág. 92

[Cooper-7] Cooper, G. (2003). Journal of the American Oriental Society,123(1), 248-249.

[8] Stillwell, John (2004). «Geometría analítica». Matemáticas e historia (Segunda edición). Springer Science + Business Media Inc. pág. 105. ISBN 0-387-95336-1Los dos fundadores de la geometría analítica, Fermat y Descartes, estuvieron fuertemente influenciados por estos avances .

[9] Boyer 2004 , pág. 74

[10] Cooke, Roger (1997). «El cálculo» . Historia de las matemáticas: Un breve curso . Wiley-Interscience. 326 págs . ISBN 0-471-18082-3La persona a la que popularmente se le atribuye el descubrimiento de la geometría analítica fue el filósofo René Descartes (1596-1650), uno de los pensadores más influyentes de la era moderna .

[11] Boyer 2004 , pág. 82

[Katz_1998_loc=pg._442-12] 1 2 Katz 1998 , pág. 442

[13] Katz 1998 , pág. 436

[14] Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, Francia: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge", págs. 91-103. Archivado el 4 de agosto de 2015 en Wayback Machine.

[15] "Eloge de Monsieur de Fermat" Archivado el 4 de agosto de 2015 en Wayback Machine (Elogio del Sr. de Fermat), Le Journal des Scavans , 9 de febrero de 1665, págs . De la pág. 70: "Una introducción aux lieux, planes & solides; qui est un traité analytique concernant la solución des problemas de planes & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet". (Una introducción a los lugares geométricos, planos y sólidos; que es un tratado analítico sobre la solución de problemas planos y sólidos, que se vio antes de que el Sr. des Cartes publicara algo sobre este tema).

[stewart-16] 1 2 Stewart, James (2008). Cálculo: Primeros trascendentales , 6.ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8

[:0-17] 1 2 Wilson, Wallace Alvin; Tracey, Joshua Irving (1937). Geometría analítica ( edición alternativa). Boston, Nueva York : DC Heath and Company . págs. 153–155 , 283–284 . LCCN 37002786. OCLC 530055 .

[intro-18] Percey Franklyn Smith, Arthur Sullivan Gale (1905) Introducción a la geometría analítica , Athaeneum Press

[19] William H. McCrea, Geometría analítica de tres dimensiones, Courier Dover Publications, 27 de enero de 2012

[20] Vujičić, Milán; Sanderson, Jeffrey (2008), Vujičić, Milán; Sanderson, Jeffrey (eds.), Álgebra lineal explicada a fondo , Springer, pág. 27, doi : 10.1007/978-3-540-74639-3 , ISBN 978-3-540-74637-9

[21] Fanchi, John R. (2006), Repaso de matemáticas para científicos e ingenieros , John Wiley and Sons, págs. 44–45 , ISBN 0-471-75715-2Sección 3.2 , página 45

[geom-22] Silvio Levy Quadrics Archivado el 18/07/2018 en Wayback Machine en "Geometry Formulas and Facts", extracto de la 30.ª edición de CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , CRC Press , del Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota

[Spiegel2009-23] Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (esquemas de Schaum) (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[24] Si bien esta discusión se limita al plano xy, se puede extender fácilmente a dimensiones superiores.

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