Prueba analítica

En matemáticas , una demostración analítica es la demostración de un teorema de análisis que utiliza exclusivamente métodos analíticos, sin recurrir predominantemente a métodos algebraicos o geométricos . El término fue empleado por primera vez por Bernard Bolzano , quien inicialmente proporcionó una demostración no analítica de su teorema del valor intermedio y, años más tarde, ofreció una demostración del mismo que prescindía de intuiciones sobre rectas que se cruzan en un punto, por lo que consideró oportuno denominarla analítica (Bolzano, 1817).

La obra filosófica de Bolzano impulsó una interpretación más abstracta de cuándo una demostración puede considerarse analítica, donde una prueba es analítica si no se extralimita en su objeto (Sebastik 2007). En la teoría de la demostración , una prueba analítica ha llegado a significar una prueba cuya estructura es simple de una manera particular, debido a condiciones sobre el tipo de inferencias que aseguran que ninguna de ellas vaya más allá de lo contenido en los supuestos y lo demostrado.

En la teoría de la demostración, la noción de demostración analítica proporciona el concepto fundamental que resalta las similitudes entre varios cálculos de demostración esencialmente distintos , definiendo así el subcampo de la teoría estructural de la demostración . No existe una definición general indiscutible de demostración analítica, pero para varios cálculos de demostración existe una noción aceptada. Por ejemplo:

• En el cálculo de deducción natural de Gerhard Gentzen, las demostraciones analíticas son aquellas en forma normal; es decir, ninguna aparición de una fórmula es a la vez la premisa principal de una regla de eliminación y la conclusión de una regla de introducción;
• En el cálculo de secuencias de Gentzen , las demostraciones analíticas son aquellas que no utilizan la regla de corte .

Sin embargo, es posible extender las reglas de inferencia de ambos cálculos de manera que existan demostraciones que satisfagan la condición pero no sean analíticas. Por ejemplo, un caso particularmente complejo es la regla de corte analítico , ampliamente utilizada en el método de tableau , que es un caso especial de la regla de corte donde la fórmula de corte es una subfórmula de fórmulas secundarias de la regla de corte: una demostración que contiene un corte analítico no es analítica en virtud de esa regla.

Además, los cálculos de demostración que no son análogos a los cálculos de Gentzen tienen otras nociones de demostración analítica. Por ejemplo, el cálculo de estructuras organiza sus reglas de inferencia en pares, llamados fragmento ascendente y fragmento descendente, y una demostración analítica es aquella que contiene únicamente el fragmento descendente.

• Semántica de la teoría de la demostración

• Bernard Bolzano (1817). Demostración puramente analítica del teorema que establece que entre dos valores cualesquiera que den resultados de signo opuesto, existe al menos una raíz real de la ecuación. En Abhandlungen der koniglichen bohmischen Gesellschaft der Wissenschaften, vol. V, págs. 225-248.
• Frank Pfenning (1984). Pruebas analíticas y no analíticas. En Actas de la 7ª Conferencia Internacional sobre Deducción Automatizada .
• Jan Šebestik (2007). La lógica de Bolzano . Entrada en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .