Teoría ideal

En matemáticas , la teoría de ideales es la teoría de ideales en anillos conmutativos . Si bien la noción de ideal también existe para anillos no conmutativos , existe una teoría mucho más sustancial solo para anillos conmutativos (y, por lo tanto, este artículo solo considera ideales en anillos conmutativos).

En todos los artículos, el término «anillos» se refiere a anillos conmutativos. Véase también el artículo «ideal (teoría de anillos)» para operaciones básicas como la suma o el producto de ideales.

Los ideales en un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo (es decir, un cociente de un anillo de polinomios sobre un cuerpo) se comportan de alguna manera mejor que aquellos en un anillo conmutativo general. Primero, a diferencia del caso general, si${\displaystyle A}$es un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo, entonces el radical de un ideal en${\displaystyle A}$es la intersección de todos los ideales máximos que contienen el ideal (porque${\displaystyle A}$es un anillo de Jacobson ). Esto puede considerarse una extensión del Nullstellensatz de Hilbert , que se refiere al caso en el que${\displaystyle A}$es un anillo de polinomios.

Si I es un ideal en un anillo A , entonces determina la topología en A donde un subconjunto U de A es abierto si, para cada x en U ,

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

para algún número entero${\displaystyle n>0}$Esta topología se denomina topología I -ádica. También se denomina topología a -ádica si${\displaystyle I=aA}$es generado por un elemento${\displaystyle a}$.

Por ejemplo, tomemos${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$, el anillo de enteros y${\displaystyle I=pA}$un ideal generado por un número primo p . Para cada entero${\displaystyle x}$, definir${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$cuando${\displaystyle x=p^{n}y}$,${\displaystyle y}$principal a${\displaystyle p}$. Entonces, claramente,

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

dónde${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |zx|_{p}<r\}}$denota una bola abierta de radio${\displaystyle r}$con centro${\displaystyle x}$. Por lo tanto, el${\displaystyle p}$Topología -ádica en${\displaystyle \mathbb {Z} }$es lo mismo que la topología del espacio métrico dada por${\displaystyle d(x,y)=|xy|_{p}}$. Como espacio métrico,${\displaystyle \mathbb {Z} }$puede completarse . El espacio métrico completo resultante tiene una estructura de anillo que extiende la estructura de anillo de${\displaystyle \mathbb {Z} }$; este anillo se denomina como${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$y se denomina el anillo de enteros p -ádicos .

En un dominio de Dedekind A (por ejemplo, un anillo de enteros en un cuerpo numérico o el anillo de coordenadas de una curva afín suave) con el cuerpo de fracciones${\displaystyle K}$, un ideal${\displaystyle I}$es invertible en el sentido de que existe un ideal fraccionario .${\displaystyle I^{-1}}$(es decir, un submódulo A de${\displaystyle K}$) tal que${\displaystyle I\,I^{-1}=A}$donde el producto de la izquierda es un producto de submódulos de K. En otras palabras, los ideales fraccionarios forman un grupo bajo un producto. El cociente del grupo de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales principales es entonces el grupo de clases de ideales de A.

En un anillo general, un ideal puede no ser invertible (de hecho, la definición de ideal fraccionario aún no está clara). Sin embargo, sobre un dominio integral noetheriano , es posible desarrollar una teoría que generalice la situación en los dominios de Dedekind. Por ejemplo, el capítulo VII del Álgebra conmutativa de Bourbaki ofrece una teoría de este tipo.

El grupo de clases ideal de A , cuando se puede definir, está estrechamente relacionado con el grupo de Picard del espectro de A (a menudo ambos son el mismo; por ejemplo, para los dominios de Dedekind).

En la teoría algebraica de números , especialmente en la teoría de cuerpos de clases , es más conveniente utilizar una generalización de un grupo de clases ideal llamado grupo de clases idele .

Hay varias operaciones sobre ideales que desempeñan funciones de clausura. La más básica es el radical de un ideal . Otra es la clausura integral de un ideal . Dada una descomposición primaria irredundante${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$, la intersección de${\displaystyle Q_{i}}$'s cuyos radicales son mínimos (no contienen ninguno de los radicales de otros${\displaystyle Q_{j}}$'s) está determinado de forma única por${\displaystyle I}$; esta intersección se denomina entonces la parte no mezclada de${\displaystyle I}$También se trata de una operación de cierre.

Ideales dados${\displaystyle I,J}$en un anillo${\displaystyle A}$, el ideal

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

se llama la saturación de${\displaystyle I}$con respecto a${\displaystyle J}$y es una operación de cierre (esta noción está estrechamente relacionada con el estudio de la cohomología local).

Véase también cierre hermético .

En ocasiones, la cohomología local puede utilizarse para obtener información sobre un ideal. Esta sección presupone cierto conocimiento de la teoría de haces y la teoría de esquemas.

Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo sobre un anillo${\displaystyle R}$y${\displaystyle I}$un ideal. Entonces${\displaystyle M}$determina el haz${\displaystyle {\widetilde {M}}}$en${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$(la restricción a Y del haz asociado a M ). Al desenrollar la definición, se observa:

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

Aquí,${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$se llama la transformación ideal de${\displaystyle M}$con respecto a${\displaystyle I}$.

• Sistema de parámetros

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  336, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432 , archivado del original el 15-11-2019 , recuperado el 15-11-2019