Grupo de mentiras

• El${\displaystyle 2\times 2}$Las matrices reales invertibles forman un grupo bajo la multiplicación, llamado grupo lineal general de grado 2 y denotado por${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$o por ⁠${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )}$:​$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$$Este es un grupo de Lie real no compacto de cuatro dimensiones ; es un subconjunto abierto de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Este grupo está desconectado ; tiene dos componentes conectadas que contienen matrices con determinantes positivos y negativos , respectivamente.
• Las matrices de rotación forman un subgrupo de ⁠${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$⁠ , denotado por ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$⁠ . Es un grupo de Lie por derecho propio: específicamente, un grupo de Lie compacto conexo unidimensional que es difeomorfo al círculo . Usando el ángulo de rotación${\displaystyle \varphi }$Como parámetro, este grupo puede parametrizarse de la siguiente manera:$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\ 2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$$La suma de los ángulos corresponde a la multiplicación de los elementos de ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$y tomar el ángulo opuesto corresponde a la inversión. Por lo tanto, tanto la multiplicación como la inversión son aplicaciones diferenciables .
• El grupo afín de una dimensión es un grupo de Lie matricial bidimensional, que consta de:${\displaystyle 2\times 2}$Matrices triangulares superiores reales, donde la primera entrada diagonal es positiva y la segunda entrada diagonal es${\displaystyle 1}$. Por lo tanto, el grupo consta de matrices de la forma$${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$$

Ahora presentamos un ejemplo de un grupo con un número incontable de elementos que no es un grupo de Lie bajo cierta topología. El grupo dado por

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

con${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$un número irracional fijo , es un subgrupo del toro${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$que no es un grupo de Lie cuando se le da la topología del subespacio . ^{[ 9 ]} Si tomamos cualquier vecindario pequeño${\displaystyle U}$de un punto${\displaystyle h}$en​${\displaystyle H}$⁠ , por ejemplo, la porción de${\displaystyle H}$en${\displaystyle U}$está desconectado. El grupo${\displaystyle H}$se enrolla repetidamente alrededor del toro sin alcanzar nunca un punto anterior de la espiral y, por lo tanto, forma un subgrupo denso de${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$⁠ .

El grupo${\displaystyle H}$Sin embargo, se le puede dar una topología diferente, en la que la distancia entre dos puntos${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$se define como la longitud del camino más corto en el grupo${\displaystyle H}$unión${\displaystyle h_{1}}$a​${\displaystyle h_{2}}$⁠ . En esta topología,${\displaystyle H}$se identifica homeomórficamente con la recta real al identificar cada elemento con el número${\displaystyle \theta }$en la definición de${\displaystyle H}$⁠ . Con esta topología,${\displaystyle H}$es simplemente el grupo de números reales bajo la suma y, por lo tanto, es un grupo de Lie.

El grupo${\displaystyle H}$es un ejemplo de un " subgrupo de Lie " de un grupo de Lie que no es cerrado. Consulte la explicación sobre subgrupos de Lie a continuación, en la sección sobre conceptos básicos.

Dejar${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$denotan el grupo de${\displaystyle n\times n}$matrices invertibles con entradas en${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ . Cualquier subgrupo cerrado de${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$es un grupo de Lie; ^{[ 10 ]} Los grupos de Lie de este tipo se denominan grupos de Lie matriciales. Dado que la mayoría de los ejemplos interesantes de grupos de Lie pueden realizarse como grupos de Lie matriciales, algunos libros de texto restringen la atención a esta clase, incluidos los de Hall, ^{[ 11 ]} Rossmann, ^{[ 12 ]} y Stillwell. ^{[ 13 ]} Restringir la atención a los grupos de Lie matriciales simplifica la definición del álgebra de Lie y la aplicación exponencial. Los siguientes son ejemplos estándar de grupos de Lie matriciales.

• Los grupos lineales especiales sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$y​${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ ,${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$y​${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$⁠ , que consiste en${\displaystyle n\times n}$matrices con determinante${\displaystyle 1}$y entradas en${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Los grupos unitarios y los grupos unitarios especiales,${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {C} )}$y​${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$⁠ , que consiste en${\displaystyle n\times n}$matrices complejas que satisfacen${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$(y también${\displaystyle \det(U)=1}$En el caso de${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$), dónde${\displaystyle U^{*}}$es la transpuesta conjugada de${\displaystyle U}$
• Los grupos ortogonales y los grupos ortogonales especiales,${\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}$y​${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$⁠ , que consiste en${\displaystyle n\times n}$matrices reales que satisfacen${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$(y también${\displaystyle \det(R)=1}$En el caso de${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$), dónde${\displaystyle R^{\mathrm {T} }}$es la transpuesta de${\displaystyle R}$

Todos los ejemplos anteriores se engloban dentro de los grupos clásicos .

Un grupo de Lie complejo se define de la misma manera utilizando variedades complejas en lugar de reales (ejemplo:${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$), y mapas holomorfos. De manera similar, utilizando una completación métrica alternativa de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$Se puede definir un grupo de Lie p -ádico sobre los números p -ádicos , un grupo topológico que también es una variedad p -ádica analítica, de modo que las operaciones del grupo son analíticas. En particular, cada punto tiene un entorno p -ádico.

El quinto problema de Hilbert preguntaba si reemplazar variedades diferenciables por variedades topológicas o analíticas podía generar nuevos ejemplos. La respuesta a esta pregunta resultó ser negativa: en 1952, Gleason , Montgomery y Zippin demostraron que si G es una variedad topológica con operaciones de grupo continuas, entonces existe exactamente una estructura analítica en G que la convierte en un grupo de Lie (véase también la conjetura de Hilbert-Smith ). Si se permite que la variedad subyacente sea de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Hilbert ), entonces se llega a la noción de un grupo de Lie de dimensión infinita. Es posible definir análogos de muchos grupos de Lie sobre cuerpos finitos , y estos proporcionan la mayoría de los ejemplos de grupos simples finitos .

El lenguaje de la teoría de categorías proporciona una definición concisa para los grupos de Lie: un grupo de Lie es un objeto grupo en la categoría de variedades diferenciables. Esto es importante, ya que permite generalizar la noción de grupo de Lie a supergrupos de Lie . Este punto de vista categórico también conduce a una generalización diferente de los grupos de Lie, a saber, los grupoides de Lie , que son objetos grupoides en la categoría de variedades diferenciables con un requisito adicional.

Un grupo de Lie se puede definir como un grupo topológico ( Hausdorff ) que, cerca del elemento identidad, se parece a un grupo de transformación, sin referencia a variedades diferenciables ni variedades topológicas. ^{[ 14 ]} Precisamente, un grupo de Lie se define como un grupo topológico que (1) es localmente isomorfo cerca de las identidades a un grupo de Lie matricial, un subgrupo cerrado de${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$y (2) tiene como máximo una cantidad numerable de componentes conexas. ^{[ a ]} ​​Demostrar que la definición topológica es equivalente a la usual es técnico (y los lectores principiantes deberían omitir lo siguiente), pero se hace aproximadamente de la siguiente manera:

1. Dado un grupo de Lie G en el sentido usual de variedad, la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie (o una versión del tercer teorema de Lie ) construye un subgrupo de Lie cerrado.${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$de tal manera que${\displaystyle G,G'}$comparten la misma álgebra de Lie; ^{[ b ]} por lo tanto, son localmente isomorfos. Por consiguiente,${\displaystyle G}$Satisface la definición topológica anterior.
2. Por el contrario, dejemos${\displaystyle G}$Sea un grupo topológico que sea un grupo de Lie en el sentido topológico anterior y elija un grupo de Lie matricial.${\displaystyle G'}$que es localmente isomorfo a ⁠${\displaystyle G}$alrededor de las identidades respectivas. Luego, mediante una versión del teorema del subgrupo cerrado ,${\displaystyle G'}$es una variedad analítica real y luego, a través del isomorfismo local, G adquiere una estructura de variedad cerca del elemento identidad. Entonces se demuestra que la ley de grupo en G puede ser dada por series de potencias formales ; ^{[ c ]} por lo que las operaciones de grupo son analíticas reales y${\displaystyle G}$En sí misma es una variedad analítica real.

La definición topológica implica que si dos grupos de Lie son isomorfos como grupos topológicos, entonces también lo son como grupos de Lie. De hecho, establece el principio general de que, en gran medida, la topología de un grupo de Lie, junto con la ley de grupo, determina su geometría.

Los únicos grupos de Lie conectados con dimensión uno son la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$(siendo la operación de grupo la suma) y el grupo circular${\displaystyle S^{1}}$de números complejos con valor absoluto uno (siendo la operación de grupo la multiplicación). El${\displaystyle S^{1}}$El grupo se suele denotar como${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$⁠ , el grupo de${\displaystyle 1\times 1}$matrices unitarias.

En dos dimensiones, si restringimos la atención a los grupos simplemente conexos, entonces se clasifican por sus álgebras de Lie. Hay (salvo isomorfismo) solo dos álgebras de Lie de dimensión dos. Los grupos de Lie simplemente conexos asociados son${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(siendo la operación de grupo la suma de vectores) y el grupo afín en dimensión uno, descrito en la subsección anterior bajo "primeros ejemplos".

• El grupo SU(2) es el grupo de${\displaystyle 2\times 2}$matrices unitarias con determinante${\displaystyle 1}$⁠ . Topológicamente,${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$es el ⁠${\displaystyle 3}$-esfera​​${\displaystyle S^{3}}$⁠ ; como grupo, puede identificarse con el grupo de cuaterniones unitarios .
• El grupo de Heisenberg es un grupo de Lie nilpotente conexo de dimensión ⁠${\displaystyle 3}$⁠ , desempeñando un papel clave en la mecánica cuántica .
• El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de 6 dimensiones de isometrías lineales del espacio de Minkowski .
• El grupo de Poincaré es un grupo de Lie de 10 dimensiones formado por isometrías afines del espacio de Minkowski.
• Los grupos de Lie excepcionales de tipos G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ tienen dimensiones 14, 52, 78, 133 y 248. Junto con la serie A–B–C–D de grupos de Lie simples , los grupos excepcionales completan la lista de grupos de Lie simples.
• El grupo simpléctico${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$consta de todo${\displaystyle 2n\times 2n}$matrices que conservan la forma simpléctica${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$en​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$⁠ . Es un grupo de Lie conexo de dimensión ⁠${\displaystyle 2n^{2}+n}$⁠ .

Existen varias formas estándar de formar nuevos grupos de mentiras a partir de los antiguos:

• El producto de dos grupos de Lie es un grupo de Lie.
• Cualquier subgrupo topológicamente cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie. Esto se conoce como el teorema del subgrupo cerrado o teorema de Cartan .
• El cociente de un grupo de Lie por un subgrupo normal cerrado es un grupo de Lie.
• La cobertura universal de un grupo de mentiras conectado es un grupo de mentiras. Por ejemplo, el grupo${\displaystyle \mathbb {R} }$es la cubierta universal del grupo circular${\displaystyle S^{1}}$De hecho , cualquier recubrimiento de una variedad diferenciable es también una variedad diferenciable, pero al especificar un recubrimiento universal , se garantiza una estructura de grupo (compatible con sus otras estructuras).

Algunos ejemplos de grupos que no son grupos de Lie (excepto en el sentido trivial de que cualquier grupo que tenga como máximo una cantidad numerable de elementos puede ser visto como un grupo que no es un grupo de Lie)${\displaystyle 0}$Los grupos de Lie de dimensión , con la topología discreta ), son:

• Grupos de dimensión infinita, como el grupo aditivo de un espacio vectorial real de dimensión infinita, o el espacio de funciones suaves de una variedad.${\displaystyle X}$a un grupo de mentiras${\displaystyle G}$,${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$Estos no son grupos de Lie, ya que no son variedades de dimensión finita .
• Algunos grupos totalmente desconectados , como el grupo de Galois de una extensión infinita de cuerpos, o el grupo aditivo de los${\displaystyle p}$Números -ádicos. Estos no son grupos de Lie porque sus espacios subyacentes no son variedades reales. (Algunos de estos grupos son "${\displaystyle p}$-grupos de Lie ádicos".) En general, solo los grupos topológicos que tienen propiedades locales similares a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$para algún entero positivo${\displaystyle n}$pueden ser grupos de Lie (por supuesto, también deben tener una estructura diferenciable).

A cada grupo de Lie se le puede asociar un álgebra de Lie cuyo espacio vectorial subyacente es el espacio tangente del grupo de Lie en el elemento identidad y que captura completamente la estructura local del grupo. De manera informal, podemos pensar en los elementos del álgebra de Lie como elementos del grupo que están " infinitesimalmente cerca" de la identidad, y el corchete de Lie del álgebra de Lie está relacionado con el conmutador de dos de dichos elementos infinitesimales. Antes de dar la definición abstracta, presentamos algunos ejemplos:

• El álgebra de Lie del espacio vectorial R ⁿ es simplemente R ⁿ con el corchete de Lie dado por [ A , B ] = 0. (En general, el corchete de Lie de un grupo de Lie conexo es siempre 0 si y solo si el grupo de Lie es abeliano).    
• El álgebra de Lie del grupo lineal general GL( n , C ) de matrices invertibles es el espacio vectorial M( n , C ) de matrices cuadradas con el corchete de Lie dado por [ A , B ] = AB − BA .      
• Si G es un subgrupo cerrado de GL( n , C ) entonces el álgebra de Lie de G puede pensarse informalmente como las matrices m de M( n , C ) tales que 1  +  ε m está en G , donde ε es un número positivo infinitesimal con ε ²  =  0 (por supuesto, no existe tal número real ε ). Por ejemplo, el grupo ortogonal O( n , R ) consta de matrices A con AA ^T  =  1, por lo que el álgebra de Lie consta de las matrices m con (1  +  ε m )(1  +  ε m ) ^T  =  1, lo que es equivalente a m  + m ^T = 0 porque ε ² = 0.     
• La descripción anterior se puede hacer más rigurosa de la siguiente manera. El álgebra de Lie de un subgrupo cerrado G de GL( n , C ) se puede calcular como:

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[ 16 ] [ 11 ]} donde exp(tX) se define usando laexponencial matricial. Entonces se puede demostrar que el álgebra de Lie deGes un espacio vectorial real que es cerrado bajo la operación de corchete,⁠${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$⁠ . ^{[ 17 ]}

La definición concreta dada anteriormente para grupos de matrices es fácil de usar, pero tiene algunos problemas menores: para usarla, primero necesitamos representar un grupo de Lie como un grupo de matrices, pero no todos los grupos de Lie pueden representarse de esta manera, y ni siquiera es obvio que el álgebra de Lie sea independiente de la representación que usemos. ^{[ 18 ]} Para sortear estos problemas, damos la definición general del álgebra de Lie de un grupo de Lie (en 4 pasos):

1. Los campos vectoriales en cualquier variedad diferenciable M pueden considerarse como derivaciones X del anillo de funciones diferenciables en la variedad y, por lo tanto, forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie [ X , Y ] = XY − YX , porque el corchete de Lie de cualesquiera dos derivaciones es una derivación.     
2. Si G es cualquier grupo que actúa suavemente sobre la variedad M , entonces actúa sobre los campos vectoriales, y el espacio vectorial de campos vectoriales fijados por el grupo es cerrado bajo el corchete de Lie y, por lo tanto, también forma un álgebra de Lie.
3. Aplicamos esta construcción al caso en que la variedad M es el espacio subyacente de un grupo de Lie G , con G actuando sobre G = M mediante traslaciones izquierdas L _g ( h ) = gh . Esto muestra que el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda (campos vectoriales que satisfacen L _{g *} X _h = X _gh para cada h en G , donde L _{g *} denota el diferencial de L _g ) en un grupo de Lie es un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie de campos vectoriales.      
4. Cualquier vector tangente en la identidad de un grupo de Lie puede extenderse a un campo vectorial invariante por la izquierda mediante una traslación izquierda del vector tangente a otros puntos de la variedad. Específicamente, la extensión invariante por la izquierda de un elemento v del espacio tangente en la identidad es el campo vectorial definido por v ^ _g  = L _{g *} v . Esto identifica el espacio tangente T _∈ G en la identidad con el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda y, por lo tanto, convierte el espacio tangente en la identidad en un álgebra de Lie, llamada álgebra de Lie de G , usualmente denotada por una Fraktur. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$Por lo tanto, el corchete de Lie en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se da explícitamente por [ v , w ] = [ v ^, w ^] _e .    

Esta álgebra de mentiras${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es de dimensión finita y tiene la misma dimensión que la variedad G. El álgebra de Lie de G determina G salvo "isomorfismo local", donde dos grupos de Lie se denominan localmente isomorfos si se ven iguales cerca del elemento identidad. Los problemas sobre grupos de Lie a menudo se resuelven resolviendo primero el problema correspondiente para las álgebras de Lie, y el resultado para los grupos generalmente se obtiene fácilmente. Por ejemplo, los grupos de Lie simples generalmente se clasifican clasificando primero las álgebras de Lie correspondientes.

También podríamos definir una estructura de álgebra de Lie en T _e usando campos vectoriales invariantes por la derecha en lugar de campos vectoriales invariantes por la izquierda. Esto conduce a la misma álgebra de Lie, porque el mapa inverso en G se puede usar para identificar campos vectoriales invariantes por la izquierda con campos vectoriales invariantes por la derecha, y actúa como − 1 en el espacio tangente T _e .

La estructura del álgebra de Lie en T _e también se puede describir de la siguiente manera: la operación de conmutador

( x , y ) → xyx ^{− 1} y ^{− 1}

en G × G envía ( e , e ) a e , por lo que su derivada produce una operación bilineal en T _e G . Esta operación bilineal es en realidad el mapeo cero, pero la segunda derivada, bajo la identificación adecuada de espacios tangentes, produce una operación que satisface los axiomas de un corchete de Lie , y es igual al doble de la definida a través de campos vectoriales invariantes por la izquierda. 

Si G y H son grupos de Lie, entonces un homomorfismo de grupos de Lie f  : G → H es un homomorfismo de grupos lisos . En el caso de grupos de Lie complejos, se requiere que dicho homomorfismo sea una aplicación holomorfa . Sin embargo, estos requisitos son algo estrictos; todo homomorfismo continuo entre grupos de Lie reales resulta ser analítico (real) . ^{[ 19 ] [ d ]}

La composición de dos homomorfismos de Lie es nuevamente un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie, junto con estos morfismos, forma una categoría . Además, todo homomorfismo de grupo de Lie induce un homomorfismo entre las álgebras de Lie correspondientes. Sea${\displaystyle \phi :G\to H}$Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea${\displaystyle \phi _{*}}$Sea su derivada en la identidad. Si identificamos las álgebras de Lie de G y H con sus espacios tangentes en los elementos identidad, entonces${\displaystyle \phi _{*}}$es una correspondencia entre las álgebras de Lie correspondientes:

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

que resulta ser un homomorfismo de álgebras de Lie (lo que significa que es una aplicación lineal que preserva el corchete de Lie ). En el lenguaje de la teoría de categorías , entonces tenemos un functor covariante de la categoría de grupos de Lie a la categoría de álgebras de Lie que envía un grupo de Lie a su álgebra de Lie y un homomorfismo de grupos de Lie a su derivada en la identidad.

Dos grupos de Lie se denominan isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo entre ellos cuyo inverso es también un homomorfismo de grupos de Lie. Equivalentemente, es un difeomorfismo que también es un homomorfismo de grupos. Obsérvese que, por lo anterior, un homomorfismo continuo de un grupo de Lie${\displaystyle G}$a un grupo de mentiras${\displaystyle H}$es un isomorfismo de grupos de Lie si y solo si es biyectivo.

Los grupos de Lie isomorfos necesariamente tienen álgebras de Lie isomorfas; por lo tanto, es razonable preguntarse cómo se relacionan las clases de isomorfismo de los grupos de Lie con las clases de isomorfismo de las álgebras de Lie.

El primer resultado en esta dirección es el tercer teorema de Lie , que establece que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie (lineal). Una forma de demostrar el tercer teorema de Lie es usar el teorema de Ado , que dice que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es isomorfa a un álgebra de Lie matricial. Mientras tanto, para cada álgebra de Lie matricial de dimensión finita, existe un grupo lineal (grupo de Lie matricial) con esta álgebra como su álgebra de Lie. ^{[ 20 ]}

Por otro lado, los grupos de Lie con álgebras de Lie isomorfas no necesariamente son isomorfos. Además, este resultado se mantiene incluso si asumimos que los grupos son conexos. Dicho de otro modo, la estructura global de un grupo de Lie no está determinada por su álgebra de Lie; por ejemplo, si Z es cualquier subgrupo discreto del centro de G , entonces G y G / Z tienen la misma álgebra de Lie (véase la tabla de grupos de Lie para ver ejemplos). Un ejemplo importante en física son los grupos SU(2) y SO(3) . Estos dos grupos tienen álgebras de Lie isomorfas, ^{[ 21 ]} pero los grupos en sí no son isomorfos, porque SU(2) es simplemente conexo, pero SO(3) no lo es. ^{[ 22 ]}

Por otro lado, si requerimos que el grupo de Lie sea simplemente conexo , entonces la estructura global está determinada por su álgebra de Lie: dos grupos de Lie simplemente conexos con álgebras de Lie isomorfas son isomorfos. ^{[ 23 ]} (Véase la siguiente subsección para más información sobre grupos de Lie simplemente conexos). A la luz del tercer teorema de Lie, podemos decir, por lo tanto, que existe una correspondencia biunívoca entre las clases de isomorfismo de álgebras de Lie reales de dimensión finita y las clases de isomorfismo de grupos de Lie simplemente conexos.

Un grupo de mentiras${\displaystyle G}$Se dice que está simplemente conectado si cada bucle en${\displaystyle G}$puede reducirse continuamente hasta un punto en${\displaystyle G}$Esta noción es importante debido al siguiente resultado que tiene como hipótesis la simple conectividad:

Teorema : ^{[ 24 ]} Supongamos${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$son grupos de Lie con álgebras de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$y eso${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$es un homomorfismo de álgebra de Lie. Si${\displaystyle G}$Si simplemente está conectado, entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie único.${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$de tal manera que${\displaystyle \phi _{*}=f}$, donde${\displaystyle \phi _{*}}$es el diferencial de${\displaystyle \phi }$en la identidad.

El tercer teorema de Lie afirma que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Del tercer teorema de Lie y del resultado anterior se deduce que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un único grupo de Lie simplemente conexo.

Un ejemplo de grupo simplemente conexo es el grupo unitario especial SU(2) , que como variedad es la 3-esfera. El grupo de rotación SO(3) , por otro lado, no es simplemente conexo. (Véase Topología de SO(3) ). El hecho de que SO(3) no sea simplemente conexo está íntimamente relacionado con la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica. Otros ejemplos de grupos de Lie simplemente conexos incluyen el grupo unitario especial SU(n) , el grupo de espín (doble recubrimiento del grupo de rotación) Spin ( n ) para${\displaystyle n\geq 3}$⁠ , y el grupo simpléctico compacto Sp(n) . ^{[ 25 ]}

En el artículo sobre grupos fundamentales de grupos de Lie se analizan los métodos para determinar si un grupo de Lie está simplemente conectado o no .

El mapa exponencial del álgebra de Lie${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$del grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$a${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$se define mediante la exponencial matricial , dada por la serie de potencias habitual:

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

para matrices${\displaystyle X}$⁠ . Si${\displaystyle G}$es un subgrupo cerrado de${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$⁠ , entonces el mapa exponencial toma el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$en​${\displaystyle G}$⁠ ; por lo tanto, tenemos un mapa exponencial para todos los grupos de matrices. Cada elemento de${\displaystyle G}$que está suficientemente cerca de la identidad es la exponencial de una matriz en el álgebra de Lie. ^{[ 26 ]}

La definición anterior es fácil de usar, pero no está definida para grupos de Lie que no sean grupos de matrices, y no está claro que la aplicación exponencial de un grupo de Lie no dependa de su representación como grupo de matrices. Podemos resolver ambos problemas utilizando una definición más abstracta de la aplicación exponencial que funciona para todos los grupos de Lie, como se muestra a continuación.

Para cada vector${\displaystyle X}$en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle G}$(es decir, el espacio tangente a${\displaystyle G}$en la identidad), se demuestra que existe un subgrupo único de un parámetro${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$de tal manera que${\displaystyle c'(0)=X}$⁠ . Diciendo eso${\displaystyle c}$es un subgrupo de un parámetro significa simplemente que${\displaystyle c}$es un mapa suave en${\displaystyle G}$y eso

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

a pesar de${\displaystyle s}$y​${\displaystyle t}$⁠ . La operación del lado derecho es la multiplicación de grupos en ⁠${\displaystyle G}$La similitud formal de esta fórmula con la válida para la función exponencial justifica la definición .

${\displaystyle \exp(X)=c(1).}$

Esto se llama mapa exponencial y representa el álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en el grupo de Lie${\displaystyle G}$⁠ . Proporciona un difeomorfismo entre un entorno de 0 en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y un vecindario de${\displaystyle e}$en​${\displaystyle G}$⁠ . Este mapa exponencial es una generalización de la función exponencial para números reales (porque${\displaystyle \mathbb {R} }$es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números reales positivos con multiplicación), para números complejos (porque${\displaystyle \mathbb {C} }$es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números complejos no nulos con multiplicación) y para matrices (porque${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$con el conmutador regular es el álgebra de Lie del grupo de Lie${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$de todas las matrices invertibles).

Debido a que el mapa exponencial es sobreyectivo en algún vecindario${\displaystyle N}$de​${\displaystyle e}$⁠ , es común llamar a los elementos del álgebra de Lie generadores infinitesimales del grupo ⁠${\displaystyle G}$⁠ . El subgrupo de${\displaystyle G}$generado por${\displaystyle N}$es el componente identidad de${\displaystyle G}$⁠ .

El mapa exponencial y el álgebra de Lie determinan la estructura de grupo local de cada grupo de Lie conexo, debido a la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff : existe un entorno${\displaystyle U}$del elemento cero de ⁠${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$⁠ , de tal manera que para${\displaystyle X,Y\in U}$tenemos

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

donde se conocen los términos omitidos e involucran paréntesis de Lie de cuatro o más elementos. En caso${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Al conmutar, esta fórmula se reduce a la conocida ley exponencial .${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$⁠ .

El mapa exponencial relaciona los homomorfismos de grupos de Lie. Es decir, si${\displaystyle \phi :G\to H}$es un homomorfismo de grupo de Lie y${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$el mapa inducido en las álgebras de Lie correspondientes, entonces para todo${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$tenemos

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).}$

En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta , ^{[ 27 ]}

(En resumen, exp es una transformación natural del functor Lie al functor identidad en la categoría de grupos de Lie).

La aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie no siempre es sobreyectiva , incluso si el grupo es conexo (aunque sí se aplica al grupo de Lie para grupos conexos que son compactos o nilpotentes). Por ejemplo, la aplicación exponencial de SL(2, R ) no es sobreyectiva. Además, la aplicación exponencial no es ni sobreyectiva ni inyectiva para grupos de Lie de dimensión infinita (véase más adelante) modelados en el espacio de Fréchet C ^∞ , incluso desde un entorno arbitrariamente pequeño de 0 al entorno correspondiente de 1.  

Un subgrupo de mentiras${\displaystyle H}$de un grupo de mentiras${\displaystyle G}$es un grupo de Lie que es un subconjunto de${\displaystyle G}$y de tal manera que el mapa de inclusión de${\displaystyle H}$a${\displaystyle G}$es una inmersión inyectiva y un homomorfismo de grupo . Según el teorema de Cartan , un subgrupo cerrado de${\displaystyle G}$admite una estructura suave única que la convierte en un subgrupo de Lie incrustado de${\displaystyle G}$—es decir, un subgrupo de Lie tal que el mapa de inclusión sea una incrustación suave.

Abundan los ejemplos de subgrupos no cerrados; por ejemplo, tomemos${\displaystyle G}$ser un toro de dimensión 2 o mayor, y dejar${\displaystyle H}$sea ​​un subgrupo uniparamétrico de pendiente irracional , es decir, uno que se enrolla en G. Entonces existe un homomorfismo de grupos de Lie.${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to G} con ⁠${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$⁠ . El cierre de${\displaystyle H}$será un subtoro en ⁠${\displaystyle G}$⁠ .

El mapa exponencial da una correspondencia biunívoca entre los subgrupos de Lie conexos de un grupo de Lie conexo.${\displaystyle G}$y las subálgebras del álgebra de Lie de ⁠${\displaystyle G}$⁠ . ^{[ 28 ]} Típicamente, el subgrupo correspondiente a una subálgebra no es un subgrupo cerrado. No existe ningún criterio basado únicamente en la estructura de${\displaystyle G}$lo que determina qué subálgebras corresponden a subgrupos cerrados.