Teorema del subgrupo analítico

En matemáticas, el teorema del subgrupo analítico es un resultado significativo en la teoría moderna de números trascendentales . Puede considerarse una generalización del teorema de Baker sobre formas lineales en logaritmos. Gisbert Wüstholz lo demostró en la década de 1980. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Marcó un hito en la teoría de los números trascendentales. Muchos problemas abiertos de larga data pueden deducirse como consecuencias directas.

Si${\displaystyle G}$es un grupo algebraico conmutativo definido sobre un cuerpo de números algebraicos y${\displaystyle A}$es un subgrupo de Lie de${\displaystyle G}$con el álgebra de Lie definida sobre el cuerpo numérico entonces${\displaystyle A}$no contiene ningún punto algebraico distinto de cero de${\displaystyle G}$a menos que${\displaystyle A}$contiene un subgrupo algebraico propio .

Uno de los nuevos ingredientes centrales de la demostración fue la teoría de las estimaciones de multiplicidad de las variedades de grupo desarrollada por David Masser y Gisbert Wüstholz en casos especiales y establecida por Wüstholz en el caso general, que era necesaria para la demostración del teorema del subgrupo analítico.

Una de las consecuencias más destacadas del teorema del subgrupo analítico fue el teorema de isogenia, publicado por Masser y Wüstholz. Una consecuencia directa es la conjetura de Tate para variedades abelianas , demostrada por Gerd Faltings con métodos totalmente diferentes, que tiene numerosas aplicaciones en la geometría aritmética moderna.

Utilizando las estimaciones de multiplicidad para variedades de grupo, Wüstholz logró obtener la forma final esperada para la cota inferior de formas lineales en logaritmos. Esta se plasmó en una forma efectiva en un trabajo conjunto con Alan Baker, que representa el estado actual de la técnica. Además de las estimaciones de multiplicidad, un ingrediente novedoso fue el uso sofisticado de la geometría de números para obtener cotas inferiores muy precisas.

• Curva algebraica

• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (1993), "Formas logarítmicas y variedades de grupos", J. Reine Angew. Math. , 1993 (442): 19– 62, doi : 10.1515/crll.1993.442.19 , MR 1234835 , S2CID 118335888  
• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol.  9. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88268-2MR 2382891 .​ 
• Masser, David; Wüstholz, Gisbert (1993), "Estimaciones de isogenia para variedades abelianas y teoremas de finitud", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 137 (3): 459– 472, doi : 10.2307/2946529 , JSTOR 2946529 , MR 1217345