Función de la ira

En matemáticas , la función de Anger , introducida por CT Anger ( 1855 ) , es una función definida como 

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }$

con parámetro complejo${\displaystyle \nu }$y variable compleja${\displaystyle {\textit {z}}}$⁠ . ^{[ 1 ]} Está estrechamente relacionado con las funciones de Bessel .

La función de Weber (también conocida como función de Lommel -Weber ), introducida por HF Weber ( 1879 ) , es una función estrechamente relacionada definida por 

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }$

y está estrechamente relacionada con las funciones de Bessel de segundo tipo.

Las funciones de la ira y de Weber están relacionadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z),\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z),\end{aligned}}}$

Así, en particular, si ν no es un número entero, pueden expresarse como combinaciones lineales entre sí. Si ν es un número entero, entonces las funciones de Anger J _ν son iguales a las funciones de Bessel J _ν , y las funciones de Weber pueden expresarse como combinaciones lineales finitas de funciones de Struve .

La función de ira tiene la expansión en serie de potencias ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}+\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}$

Mientras que la función de Weber tiene la expansión en serie de potencias ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)=\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}$

Las funciones de Anger y Weber son soluciones de formas no homogéneas de la ecuación de Bessel.

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0.}$

Más precisamente, las funciones de ira satisfacen la ecuación ^{[ 2 ].}

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y={\frac {(z-\nu )\sin(\pi \nu )}{\pi }},}$

y las funciones de Weber satisfacen la ecuación ^{[ 2 ]}

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-{\frac {z+\nu +(z-\nu )\cos(\pi \nu )}{\pi }}.}$

La función de ira satisface esta forma no homogénea de relación de recurrencia ^{[ 2 ].}

${\displaystyle z\mathbf {J} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {J} _{\nu }(z)-{\frac {2\sin \pi \nu }{\pi }}.}$

Mientras que la función de Weber satisface esta forma no homogénea de relación de recurrencia ^{[ 2 ]}

${\displaystyle z\mathbf {E} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {E} _{\nu }(z)-{\frac {2(1-\cos \pi \nu )}{\pi }}.}$

Las funciones de Anger y Weber satisfacen estas formas homogéneas de ecuaciones diferenciales con retardo ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu -1}(z)-\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z),}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu -1}(z)-\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z).}$

Las funciones de Anger y Weber también satisfacen estas formas no homogéneas de ecuaciones diferenciales con retardo ^{[ 2 ].}

${\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {J} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {J} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {\sin \pi \nu }{\pi }},}$

${\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {E} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {E} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {1-\cos \pi \nu }{\pi }}.}$