Aceleración angular

En dos dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que cambia la velocidad angular orbital bidimensional de la partícula alrededor del origen. La velocidad angular instantánea ω en cualquier instante de tiempo viene dada por

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$

dónde${\displaystyle r}$es la distancia desde el origen y${\displaystyle v_{\perp }}$es la componente transversal radial de la velocidad instantánea (es decir, la componente perpendicular al vector de posición), que por convención es positiva para el movimiento en sentido antihorario y negativa para el movimiento en sentido horario.

Por lo tanto, la aceleración angular instantánea α de la partícula viene dada por ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}$

Al expandir el lado derecho usando la regla del producto del cálculo diferencial, se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$

En el caso especial en que la partícula experimenta un movimiento circular alrededor del origen,${\displaystyle \textstyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$se convierte simplemente en la aceleración tangencial${\displaystyle a_{\perp }}$, y${\displaystyle \textstyle {\frac {dr}{dt}}}$desaparece (ya que la distancia desde el origen permanece constante), por lo que la ecuación anterior se simplifica a

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$

En dos dimensiones, la aceleración angular es un número con signo positivo o negativo que indica orientación, pero no dirección. Por convención, el signo se considera positivo si la velocidad angular aumenta en sentido antihorario o disminuye en sentido horario, y negativo si aumenta en sentido horario o disminuye en sentido antihorario. La aceleración angular puede denominarse entonces pseudoescalar , una magnitud numérica que cambia de signo al invertir la paridad , como al invertir un eje o intercambiar los dos ejes.

En tres dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que cambia el vector de velocidad angular orbital tridimensional con el tiempo. El vector de velocidad angular instantáneo${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$en cualquier momento se da por

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de la partícula,${\displaystyle r}$su distancia del origen, y${\displaystyle \mathbf {v} }$su vector de velocidad. ^{[ 2 ]}

Por lo tanto, la aceleración angular orbital es el vector${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$definido por

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$

Al expandir esta derivada utilizando la regla del producto para productos cruzados y la regla del cociente ordinario, se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$es solo${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$, el segundo término puede reescribirse como${\displaystyle \textstyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$. En el caso donde la distancia${\displaystyle r}$Si la partícula desde el origen no cambia con el tiempo (lo que incluye el movimiento circular como un subcaso), el segundo término se anula y la fórmula anterior se simplifica a:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

A partir de la ecuación anterior, se puede recuperar la aceleración radial transversal en este caso especial como:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$

A diferencia de lo que ocurre en dos dimensiones, la aceleración angular en tres dimensiones no tiene por qué estar asociada a un cambio en la velocidad angular.${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$Si el vector de posición de la partícula "gira" en el espacio, cambiando su plano instantáneo de desplazamiento angular, el cambio en la dirección de la velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$seguirá produciendo una aceleración angular distinta de cero. Esto no puede ocurrir si el vector de posición está restringido a un plano fijo, en cuyo caso${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$tiene una dirección fija perpendicular al plano.

El vector de aceleración angular se denomina más propiamente pseudovector : tiene tres componentes que se transforman bajo rotaciones de la misma manera que las coordenadas cartesianas de un punto, pero que no se transforman como las coordenadas cartesianas bajo reflexiones.

El torque neto sobre una partícula puntual se define como el pseudovector

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {F} }$es la fuerza neta sobre la partícula. ^{[ 3 ]}

El torque es el análogo rotacional de la fuerza: induce un cambio en el estado rotacional de un sistema, al igual que la fuerza induce un cambio en el estado traslacional de un sistema. Como la fuerza sobre una partícula está relacionada con la aceleración mediante la ecuación${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, se puede escribir una ecuación similar que conecte el torque sobre una partícula con la aceleración angular, aunque esta relación es necesariamente más complicada. ^{[ 4 ]}

Primero, sustituyendo${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$Sustituyendo en la ecuación anterior para el par, se obtiene:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$

De la sección anterior:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$es la aceleración angular orbital y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es la velocidad angular orbital. Por lo tanto:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

En el caso especial de distancia constante${\displaystyle r}$de la partícula desde el origen (${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$), el segundo término de la ecuación anterior se anula y la ecuación anterior se simplifica a

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$

que puede interpretarse como un "análogo rotacional" a${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$donde la cantidad${\displaystyle mr^{2}}$(conocido como el momento de inercia de la partícula) desempeña el papel de la masa.${\displaystyle m}$Sin embargo, a diferencia de${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$Esta ecuación no se aplica a una trayectoria arbitraria, sino solo a una trayectoria contenida dentro de una capa esférica alrededor del origen.