Operador de momento angular

La definición clásica de momento angular es${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$Las contrapartes cuántico-mecánicas de estos objetos comparten la misma relación: $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ donde r es el operador de posición cuántica , p es el operador de momento cuántico , × es el producto vectorial y L es el operador de momento angular orbital . L (al igual que p y r ) es un operador vectorial (un vector cuyos componentes son operadores), es decir,${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$donde L _x , L _y , L _z son tres operadores cuánticos diferentes.

En el caso especial de una sola partícula sin carga eléctrica ni espín , el operador de momento angular orbital se puede escribir en la base de posición como:$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$ donde ∇ es el operador diferencial vectorial, del .

Existe otro tipo de momento angular, llamado momento angular de espín (más a menudo abreviado como espín ), representado por el operador de espín.${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$El espín se suele representar como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esto es solo una metáfora: el análogo clásico más cercano se basa en la circulación de ondas. ^{[ 2 ]} Todas las partículas elementales tienen un espín característico ( los bosones escalares tienen espín cero). Por ejemplo, los electrones siempre tienen "espín 1/2" mientras que los fotones siempre tienen "espín 1" (más detalles a continuación ).

Finalmente, existe un momento angular total.${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$, que combina tanto el momento angular de espín como el momento angular orbital de una partícula o sistema: $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S}.}$$

La conservación del momento angular establece que J para un sistema cerrado, o J para todo el universo, se conserva. Sin embargo, L y S generalmente no se conservan. Por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera entre L y S , manteniendo constante el valor total de J.

El operador de momento angular orbital es un operador vectorial, lo que significa que puede expresarse en términos de sus componentes vectoriales.${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$. Los componentes tienen las siguientes relaciones de conmutación entre sí: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

donde [ , ] denota el conmutador$${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

Esto se puede escribir como $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$ donde l , m , n son los índices de los componentes (1 para x , 2 para y , 3 para z ), y ε _lmn denota el símbolo de Levi-Civita . Alternativamente, se puede usar la convención de suma de Einstein para escribir esto como:$${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \varepsilon _{lmn}L_{n}.}$$

También es posible una expresión compacta como una ecuación vectorial: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

Las relaciones de conmutación pueden demostrarse como consecuencia directa de las relaciones de conmutación canónicas.${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$, donde δ _lm es la delta de Kronecker .

Existe una relación análoga en la física clásica: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$ donde L _n es un componente del operador de momento angular clásico , y${\displaystyle \{,\}}$es el corchete de Poisson .

Las mismas relaciones de conmutación se aplican a los demás operadores de momento angular (espín y momento angular total): ^{[ 6 ]}$$+$$

Se puede suponer que se cumplen por analogía con L. Alternativamente, se pueden derivar como se explica más adelante .

Estas relaciones de conmutación significan que L tiene la estructura matemática de un álgebra de Lie , y las ε _lmn son sus constantes de estructura . En este caso, el álgebra de Lie es SU(2) o SO(3) en notación física (${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$o${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$respectivamente en notación matemática), es decir, el álgebra de Lie asociada a rotaciones en tres dimensiones. Lo mismo ocurre con J y S. La razón se explica más adelante . Estas relaciones de conmutación son relevantes para la medición y la incertidumbre, como se analiza con más detalle a continuación.

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N , el momento angular de espín electrónico S y el momento angular de espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos, el momento angular rovibrónico se denota como J en lugar de N. Como explica Van Vleck, ^{[ 7 ]} las componentes del momento angular rovibrónico molecular referidas a ejes fijos a la molécula tienen relaciones de conmutación diferentes a las dadas anteriormente, que son para las componentes alrededor de ejes fijos al espacio.

Como cualquier vector, el cuadrado de una magnitud se puede definir para el operador de momento angular orbital, $${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$es otro operador cuántico . Conmuta con los componentes de${\displaystyle \mathbf {L} }$, $${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

Una forma de demostrar que estos operadores conmutan es partir de las relaciones de conmutación [ L _ℓ , L _m ] en la sección anterior:

Matemáticamente,${\displaystyle L^{2}}$es un invariante de Casimir del álgebra de Lie SO(3) generada por${\displaystyle \mathbf {L} }$.

Como se mencionó anteriormente, existe una relación análoga en la física clásica: $${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$ dónde${\displaystyle L_{i}}$es un componente del operador de momento angular clásico , y${\displaystyle \{,\}}$es el corchete de Poisson . ^{[ 9 ]}

Volviendo al caso cuántico, las mismas relaciones de conmutación se aplican también a los demás operadores de momento angular (espín y momento angular total). $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

En mecánica cuántica, en general, cuando dos operadores observables no conmutan, se denominan observables complementarios . Dos observables complementarios no pueden medirse simultáneamente; en cambio, satisfacen un principio de incertidumbre . Cuanto más precisamente se conoce un observable, menos precisamente se puede conocer el otro. Así como existe un principio de incertidumbre que relaciona la posición y el momento, también existen principios de incertidumbre para el momento angular.

La relación de Robertson-Schrödinger proporciona el siguiente principio de incertidumbre: $${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$ dónde${\displaystyle \sigma _{X}}$es la desviación estándar en los valores medidos de X y${\displaystyle \langle X\rangle }$denota el valor esperado de X. Esta desigualdad también es cierta si x , y, z se reordenan, o si L se reemplaza por J o S.

Por lo tanto, dos componentes ortogonales del momento angular (por ejemplo L _x y L _y ) son complementarias y no pueden conocerse o medirse simultáneamente, excepto en casos especiales como${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$.

Sin embargo, es posible medir o especificar simultáneamente L₂ y cualquier componente de L ^; por ejemplo, L₂ y ^L₂ . Esto suele ser útil, y los valores se caracterizan por el número cuántico azimutal ( l ) y el número cuántico magnético ( m ). En este caso, el estado cuántico del sistema es un autoestado simultáneo de los operadores L₂ y L₂, pero no ^de Lₓ ni de Ly . _Los autovalores están _relacionados con l _y m , como se muestra _en la tabla siguiente.

Una forma común de derivar las reglas de cuantización anteriores es el método de operadores de escalera . ^{[ 12 ]} Los operadores de escalera para el momento angular total${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$se definen como: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

Suponer${\displaystyle |\psi \rangle }$es un autoestado simultáneo de${\displaystyle J^{2}}$y${\displaystyle J_{z}}$(es decir, un estado con un valor definido para${\displaystyle J^{2}}$y un valor definido para${\displaystyle J_{z}}$). Luego, utilizando las relaciones de conmutación para los componentes de${\displaystyle \mathbf {J} }$, se puede demostrar que cada uno de los estados${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$y${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$es cero o un autoestado simultáneo de${\displaystyle J^{2}}$y${\displaystyle J_{z}}$, con el mismo valor que${\displaystyle |\psi \rangle }$para${\displaystyle J^{2}}$pero con valores para${\displaystyle J_{z}}$que aumentan o disminuyen por${\displaystyle \hbar }$respectivamente. El resultado es cero cuando el uso de un operador de escalera daría como resultado un estado con un valor para${\displaystyle J_{z}}$que está fuera del rango permitido. Usando los operadores de escalera de esta manera, los posibles valores y números cuánticos para${\displaystyle J^{2}}$y${\displaystyle J_{z}}$se puede encontrar.

Derivación de los posibles valores y números cuánticos para${\displaystyle J_{z}}$y${\displaystyle J^{2}}$. ^{[ 13 ]}

Dejar${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$sea ​​una función de estado para el sistema con valor propio${\displaystyle {J^{2}}'}$para${\displaystyle J^{2}}$y valor propio${\displaystyle J_{z}'}$para${\displaystyle J_{z}}$. ^{[ nota 1 ]}

De${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$se obtiene, $${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$ Aplicando ambos lados de la ecuación anterior a${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$, $${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ Desde${\displaystyle J_{x}}$y${\displaystyle J_{y}}$son observables reales,${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$no es negativo y${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. De este modo${\displaystyle J_{z}'}$tiene un límite superior e inferior.

Dos de las relaciones de conmutación para los componentes de${\displaystyle \mathbf {J} }$son, $${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$ Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones, que se escriben juntas utilizando${\displaystyle \pm }$señales en lo siguiente, $${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$ donde una de las ecuaciones utiliza la${\displaystyle +}$señales y el otro usos el${\displaystyle -}$señales. Aplicando ambos lados de lo anterior a${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$, $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$ Lo anterior demuestra que${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$son dos autofunciones de${\displaystyle J_{z}}$con sus respectivos valores propios${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$, a menos que una de las funciones sea cero, en cuyo caso no es una autofunción. Para las funciones que no son cero, $${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ Otras funciones propias de${\displaystyle J_{z}}$y los autovalores correspondientes se pueden encontrar aplicando repetidamente${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$siempre que la magnitud del valor propio resultante sea${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. Dado que los valores propios de${\displaystyle J_{z}}$están limitados, sea${\displaystyle J_{z}^{0}}$sea ​​el valor propio más bajo y${\displaystyle J_{z}^{1}}$ser el más alto. Entonces $${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$y $${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$ ya que no hay estados donde el valor propio de${\displaystyle J_{z}}$es${\displaystyle <J_{z}^{0}}$o${\displaystyle >J_{z}^{1}}$. Al aplicar${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$a la primera ecuación,${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$al segundo, usando${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$y utilizando también${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}}$, se puede demostrar que $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$y $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$ Restando la primera ecuación de la segunda y reordenando, $${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$ Desde${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$, el segundo factor es negativo. Entonces el primer factor debe ser cero y por lo tanto${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$.

La diferencia${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$proviene de la aplicación sucesiva de${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$o${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$que disminuyen o aumentan el valor propio de${\displaystyle J_{z}}$por${\displaystyle \hbar }$de modo que, $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$ Dejar $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$dónde$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$ Luego usando${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$y lo anterior, $${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$y$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$ y los autovalores permitidos de${\displaystyle J_{z}}$son $${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$ Expresar${\displaystyle J_{z}'}$en términos de un número cuántico${\displaystyle m_{j}\;}$y sustituyendo${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$en${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$desde arriba,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle \mathbf {S} }$y${\displaystyle \mathbf {L} }$tienen las mismas relaciones de conmutación que${\displaystyle \mathbf {J} }$, se puede aplicar el mismo análisis de escalera a ellos, excepto que para${\displaystyle \mathbf {L} }$Existe una restricción adicional sobre los números cuánticos: deben ser números enteros.

Derivación de la restricción a números cuánticos enteros para${\displaystyle L_{z}}$y${\displaystyle L^{2}}$. ^{[ 14 ]}

En la representación de Schroedinger, la componente z del operador de momento angular orbital se puede expresar en coordenadas esféricas como, ^{[ 15 ]}$${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$ Para${\displaystyle L_{z}}$y autofunción${\displaystyle \psi }$con valor propio${\displaystyle L_{z}'}$, $${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$ Resolver para${\displaystyle \psi }$, $${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$ dónde${\displaystyle A}$es independiente de${\displaystyle \phi }$. Desde${\displaystyle \psi }$se requiere que sea de valor único y agregar${\displaystyle 2\pi }$a${\displaystyle \phi }$da como resultado una coordenada para el mismo punto en el espacio, $${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$ Resolviendo para el valor propio${\displaystyle L_{z}'}$, $${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$ dónde${\displaystyle m_{l}}$es un número entero. ^{[ 16 ]} De lo anterior y la relación${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$De ello se deduce que${\displaystyle \ell }$También es un número entero. Esto demuestra que los números cuánticos${\displaystyle m_{\ell }}$y${\displaystyle \ell }$para el momento angular orbital${\displaystyle \mathbf {L} }$están restringidos a números enteros, a diferencia de los números cuánticos para el momento angular total.${\displaystyle \mathbf {J} }$y girar${\displaystyle \mathbf {S} }$, que pueden tener valores semi-enteros. ^{[ 17 ]}

Dado que los momentos angulares son operadores cuánticos, no pueden representarse como vectores como en la mecánica clásica. Sin embargo, es común representarlos heurísticamente de esta manera. A la derecha se muestra un conjunto de estados con números cuánticos.${\displaystyle \ell =2}$, y${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$para los cinco conos de abajo hacia arriba. Dado que${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$, todos los vectores se muestran con longitud${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$. Los anillos representan el hecho de que${\displaystyle L_{z}}$Se sabe con certeza, pero${\displaystyle L_{x}}$y ${\displaystyle L_{y}}$son desconocidos; por lo tanto, se dibuja cada vector clásico con la longitud y componente z apropiadas , formando un cono. El valor esperado del momento angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por${\displaystyle \ell }$y${\displaystyle m_{\ell }}$podría estar en algún lugar de este cono mientras que no se puede definir para un solo sistema (ya que los componentes de${\displaystyle L}$no se desplazan juntos para trabajar).

Se cree ampliamente que las reglas de cuantización son válidas incluso para sistemas macroscópicos, como el momento angular L de un neumático giratorio. Sin embargo, no tienen ningún efecto observable, por lo que esto no se ha comprobado. Por ejemplo, si${\displaystyle L_{z}/\hbar }$es aproximadamente 100000000, esencialmente no hay diferencia si el valor preciso es un entero como 100000000 o 100000001, o un no entero como 100000000.2; los pasos discretos son actualmente demasiado pequeños para medirlos. A efectos prácticos, el conjunto de todos los valores posibles del momento angular es efectivamente continuo a escalas macroscópicas. ^{[ 18 ]}

Aunque uno podría esperar${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$(una rotación de 360° es el operador identidad), esto no se asume en la mecánica cuántica, y resulta que a menudo no es cierto: cuando el número cuántico de momento angular total es un semientero (1/2, 3/2, etc.),${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$y cuando es un número entero,${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$[ ^{6 ] Matemáticamente, la estructura de las} rotaciones en el universo no es SO(3) , el grupo de rotaciones tridimensionales en la mecánica clásica. En cambio, es SU(2) , que es idéntico a SO(3) para rotaciones pequeñas, pero donde una rotación de 360° se distingue matemáticamente de una rotación de 0°. (Sin embargo, una rotación de 720° es lo mismo que una rotación de 0°). ^{[ 6 ]}

Por otro lado,${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$en todas las circunstancias, porque una rotación de 360° de una configuración espacial es lo mismo que ninguna rotación en absoluto. (Esto es diferente de una rotación de 360° del estado interno (espín) de la partícula, que podría o no ser lo mismo que ninguna rotación en absoluto). En otras palabras, la${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$Los operadores llevan la estructura de SO(3) , mientras que${\displaystyle R}$y${\displaystyle R_{\text{internal}}}$tienen la estructura de SU(2) .

De la ecuación${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$, uno elige un autoestado${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$y dibuja $${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$ Es decir, que los números cuánticos del momento angular orbital solo pueden ser enteros, no semienteros.

Partiendo de un cierto estado cuántico${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$, consideremos el conjunto de estados${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$por todas las posibles${\displaystyle {\hat {n}}}$y${\displaystyle \phi }$, es decir, el conjunto de estados que resultan de rotar el estado inicial de todas las maneras posibles. El espacio vectorial generado por dicho conjunto es un espacio vectorial y, por lo tanto, la forma en que los operadores de rotación transforman un estado en otro es una representación del grupo de operadores de rotación.

A partir de la relación entre J y los operadores de rotación,

Cuando los operadores de momento angular actúan sobre estados cuánticos, forman una representación del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$o${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$.

(Las álgebras de Lie de SU(2) y SO(3) son idénticas.)

La derivación del operador de escalera anterior es un método para clasificar las representaciones del álgebra de Lie SU(2).

Las rotaciones clásicas no conmutan entre sí: por ejemplo, rotar 1° alrededor del eje x y luego 1° alrededor del eje y produce una rotación global ligeramente diferente a rotar 1° alrededor del eje y y luego 1° alrededor del eje x . Analizando cuidadosamente esta no conmutatividad, se pueden derivar las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular. ^{[ 6 ]}

(Este mismo procedimiento de cálculo es una forma de responder a la pregunta matemática "¿Cuál es el álgebra de Lie de los grupos de Lie SO(3) o SU(2) ?")