Tensor de velocidad angular

El tensor de velocidad angular es una matriz antisimétrica definida por:

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Los elementos escalares anteriores corresponden a las componentes del vector de velocidad angular.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}$.

Esta es una matriz de rotación infinitesimal . La transformación lineal Ω actúa como un producto vectorial.${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$es un vector de posición .

Cuando se multiplica por una diferencia de tiempo, da como resultado el tensor de desplazamiento angular .

Un vector${\displaystyle \mathbf {r} }$que experimenta un movimiento circular uniforme alrededor de un eje fijo satisface:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\Omega \mathbf {r} }$

Dejar${\displaystyle A(t)=[\mathbf {e} _{1}(t)\ \mathbf {e} _{2}(t)\ \mathbf {e} _{3}(t)]}$ sea ​​la matriz de orientación de un marco, cuyas columnas${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$,${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, y${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$son los vectores de coordenadas ortonormales móviles del sistema de referencia. Podemos obtener el tensor de velocidad angular Ω ( t ) de A ( t ) de la siguiente manera:

La velocidad angular${\displaystyle \omega }$debe ser el mismo para cada uno de los vectores columna.${\displaystyle \mathbf {e} _ {i}}$, entonces tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}&={\begin{bmatrix}{\dfrac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}}&{\dfrac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}&{\dfrac {d\mathbf {e} _{3}}{dt}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\omega \times \mathbf {e} _{1}&\omega \times \mathbf {e} _{2}&\omega \times \mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\Omega \mathbf {e} _{1}&\Omega \mathbf {e} _{2}&\Omega \mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}\\&=\Omega A,\end{aligned}}}$$

lo cual se cumple incluso si A ( t ) no gira uniformemente. Por lo tanto, el tensor de velocidad angular es:

${\displaystyle \Omega ={\frac {dA}{dt}}A^{-1}={\frac {dA}{dt}}A^{\mathsf {T}},}$

ya que la inversa de una matriz ortogonal${\displaystyle A}$es su transpuesta${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$.

En general, la velocidad angular en un espacio n -dimensional es la derivada temporal del tensor de desplazamiento angular, que es un tensor antisimétrico de segundo rango .

Este tensor Ω tendrá n ( n −1)/2 componentes independientes, que es la dimensión del álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones de un espacio de producto interno n -dimensional . ^{[ 1 ]}

Las mismas ecuaciones para la velocidad angular se pueden obtener considerando un cuerpo rígido en rotación . Aquí no se supone que el cuerpo rígido gire alrededor del origen, sino que puede suponerse que gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal V ( t ) en cada instante.

Para obtener las ecuaciones, conviene imaginar un cuerpo rígido unido a los marcos y considerar un sistema de coordenadas fijo respecto a dicho cuerpo. A continuación, estudiaremos las transformaciones de coordenadas entre este sistema y el marco fijo del laboratorio .

Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema de laboratorio está en el punto O , el origen del sistema de cuerpo rígido está en O ′ y el vector de O a O ′ es R. Una partícula ( i ) en el cuerpo rígido se encuentra en el punto P y la posición vectorial de esta partícula es R _i en el sistema de referencia del laboratorio, y en la posición r _i en el sistema de referencia del cuerpo. Se observa que la posición de la partícula se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$

La característica definitoria de un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido no cambia en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$es inmutable. Por el teorema de rotación de Euler , podemos reemplazar el vector${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$con${\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$dónde${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es una matriz de rotación de 3×3 y${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$es la posición de la partícula en un punto fijo en el tiempo, digamos t = 0. Este reemplazo es útil, porque ahora es solo la matriz de rotación.${\displaystyle {\mathcal {R}}}$que está cambiando en el tiempo y no el vector de referencia${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$, a medida que el cuerpo rígido gira alrededor del punto O ′ . Además, dado que las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres versores de un sistema de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, cualquier rotación alrededor de cualquier eje se vuelve ahora visible, mientras que el vector${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$no rotaría si el eje de rotación fuera paralelo a él, y por lo tanto solo describiría una rotación alrededor de un eje perpendicular a él (es decir, no vería la componente del pseudovector de velocidad angular paralela a él, y solo permitiría el cálculo de la componente perpendicular a él). La posición de la partícula ahora se escribe como:

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

Al tomar la derivada con respecto al tiempo se obtiene la velocidad de la partícula:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}$

donde V _i es la velocidad de la partícula (en el sistema de referencia del laboratorio) y V es la velocidad de O ′ (el origen del sistema de referencia del cuerpo rígido). Dado que${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es una matriz de rotación, su inversa es su transpuesta. Entonces sustituimos${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}$:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}$

o

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\Omega \mathbf {r} _{i}}$

dónde${\displaystyle \Omega ={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}$es el tensor de velocidad angular anterior.

Se puede demostrar que esta es una matriz antisimétrica , por lo que podemos tomar su dual para obtener un pseudovector tridimensional que es precisamente el vector de velocidad angular anterior.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Sustituyendo ω por Ω en la expresión de velocidad anterior y reemplazando la multiplicación de matrices por un producto vectorial equivalente:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}$

Se puede observar que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se puede dividir en dos términos: la velocidad de un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido más el término de producto vectorial que involucra la velocidad angular orbital de la partícula con respecto al punto de referencia. Esta velocidad angular es lo que los físicos llaman la "velocidad angular de giro" del cuerpo rígido, en contraposición a la velocidad angular orbital del punto de referencia O ' alrededor del origen O.

Consistencia

Hemos supuesto que el cuerpo rígido gira alrededor de un punto arbitrario. Debemos demostrar que la velocidad angular de giro previamente definida es independiente del origen, lo que significa que es una propiedad intrínseca del cuerpo rígido en rotación. (Nótese el marcado contraste con la velocidad angular orbital de una partícula puntual , que sí depende del origen).

Vea el gráfico de la derecha: El origen del sistema de referencia del laboratorio es _O , mientras que _O1 y O2 son dos puntos fijos en el cuerpo rígido, cuya velocidad es${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$respectivamente. Supongamos que la velocidad angular con respecto a O ₁ y O ₂ es${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{2}}$respectivamente. Dado que los puntos _P y O2 tienen solo una velocidad,

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} _{1}=\mathbf {v} _{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{2}\times \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$

Los dos resultados anteriores que

${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}_{2}-{\boldsymbol {\omega }}_{1})\times \mathbf {r} _{2}=0}$

Dado que el punto P (y por lo tanto${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$) es arbitrario, por lo tanto se deduce que

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}={\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

Si el punto de referencia es el eje instantáneo de rotación, la expresión de la velocidad de un punto en el cuerpo rígido solo incluirá el término de velocidad angular. Esto se debe a que la velocidad del eje instantáneo de rotación es cero. Un ejemplo de eje instantáneo de rotación es la bisagra de una puerta. Otro ejemplo es el punto de contacto de un cuerpo rígido esférico (o, más generalmente, convexo) que rueda libremente.