Cancelación anómala

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {\cancel {d}}{\cancel {d}}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

Cancelación anómala en cálculo

Una cancelación anómala o accidental es un tipo particular de error de procedimiento aritmético que produce una respuesta numéricamente correcta. Se intenta reducir una fracción cancelando dígitos individuales en el numerador y el denominador . Esta no es una operación legítima y, por lo general, no produce una respuesta correcta, pero en algunos casos excepcionales el resultado es numéricamente el mismo que si se hubiera aplicado un procedimiento correcto. ^{[ 1 ]} Se ignoran los casos triviales de cancelación de ceros finales o donde todos los dígitos son iguales.

Algunos ejemplos de cancelaciones anómalas que aún así producen el resultado correcto son:

Estos y sus inversos son todos los casos en base 10 con la fracción distinta de 1 y con dos dígitos. El artículo de Boas analiza casos de dos dígitos en bases distintas de la base 10 , por ejemplo, ⁠ 32 / 13 ⁠ = ⁠ 2 / 1 ⁠ y su inverso son las únicas soluciones en base 4 con dos dígitos. ^{[ 2 ]}

Un ejemplo de cancelación anómala con más de dos dígitos es ⁠ 165 / 462 ⁠ = ⁠ 15 / 42 ⁠ , y un ejemplo con diferente número de dígitos es ⁠ 98 / 392 ⁠ = ⁠ 8 / 32 ⁠ .

Cuando la base es prima, no existen soluciones de dos dígitos. Esto se puede demostrar por contradicción: supongamos que existe una solución. Sin pérdida de generalidad , podemos decir que esta solución es

${\displaystyle {\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}},\ {\rm {base}}\ p,}$

donde la doble línea vertical indica la concatenación de dígitos . Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle {\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (ab)cp=b(ac)}$

Pero${\displaystyle p>a,b,ac}$, ya que son dígitos en base${\displaystyle p}$; todavía${\displaystyle p}$divide${\displaystyle b(ac)}$, lo que significa que${\displaystyle a=c}$. Por lo tanto, el lado derecho es cero, lo que significa que el lado izquierdo también debe ser cero, es decir,${\displaystyle a=b}$, una contradicción por la definición del problema. (Si${\displaystyle a=b}$, el cálculo se convierte en${\displaystyle {\frac {a||a}{c||a}}={\frac {a}{c}}\implies {\frac {a||a}{a||a}}={\frac {a}{a}}=1}$(que es uno de los casos triviales excluidos).

Otra propiedad es que el número de soluciones en una base${\displaystyle n}$es extraño si y solo si${\displaystyle n}$es un cuadrado par. Esto se puede demostrar de forma similar a lo anterior: supongamos que tenemos una solución

${\displaystyle {\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}}$

Luego, realizando la misma manipulación, obtenemos

${\displaystyle {\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (ab)cn=b(ac)}$

Supongamos que${\displaystyle a>b,c}$. Entonces tenga en cuenta que${\displaystyle a,b,c\to a,ac,ab}$también es una solución a la ecuación. Esto casi establece una involución del conjunto de soluciones a sí mismo. Pero también podemos sustituir para obtener${\displaystyle (ab)^{2}n=b^{2}}$, que solo tiene soluciones cuando${\displaystyle n}$es un cuadrado. Sea${\displaystyle n=k^{2}}$. Tomando raíces cuadradas y reordenando se obtiene${\displaystyle ak=(k+1)b}$Dado que el máximo común divisor de${\displaystyle k,(k+1)}$es uno, sabemos que${\displaystyle a=(k+1)x,b=kx}$. Observando que${\displaystyle a,b<k^{2}}$, esto tiene precisamente las soluciones${\displaystyle x=1,2,3,\ldots ,k-1}$: es decir, tiene un número impar de soluciones cuando${\displaystyle n=k^{2}}$es un cuadrado par. La afirmación inversa se puede demostrar observando que todas estas soluciones satisfacen los requisitos iniciales.

La cuestión, en un sentido un poco más general, fue estudiada por Satvik Saha, Sohom Gupta, Sayan Dutta y Sourin Chatterjee. ^{[ 3 ]} El número de soluciones en diferentes bases se enumera en OEIS A366412 .

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