Propiedad anticonmutativa

En matemáticas , la anticonmutatividad es una propiedad específica de algunas operaciones matemáticas no conmutativas . Intercambiar la posición de dos argumentos de una operación antisimétrica produce un resultado que es el inverso del resultado con los argumentos sin intercambiar. La noción de inverso se refiere a una estructura de grupo en el codominio de la operación , posiblemente con otra operación. La resta es una operación anticonmutativa porque conmutar los operandos de${\displaystyle ab}$da${\displaystyle ba=-(ab)}$; Por ejemplo,${\displaystyle 2-10=-(10-2)=-8}$Otro ejemplo destacado de una operación anticonmutativa es el corchete de Lie .

En física matemática , donde la simetría es de vital importancia, o incluso en álgebra multilineal, estas operaciones se denominan mayoritariamente (multilineales con respecto a algunas estructuras vectoriales y luego) operaciones antisimétricas , y cuando no tienen ya una aridad mayor que dos, se extienden en un entorno asociativo para cubrir más de dos argumentos .

Si${\displaystyle A,B}$son dos grupos abelianos , un mapa bilineal${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$es anticonmutativo si para todo${\displaystyle x,y\in A}$tenemos

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

En términos más generales, un mapa multilineal${\displaystyle g:A^{n}\to B}$es anticonmutativo si para todo${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$tenemos

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

dónde${\displaystyle {\text{sgn}}(\sigma )}$es el signo de la permutación${\displaystyle \sigma }$.

Si el grupo abeliano${\displaystyle B}$no tiene 2- torsión , lo que implica que si${\displaystyle x=-x}$entonces${\displaystyle x=0}$, entonces cualquier mapa bilineal anticonmutativo${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$Satisface

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

De forma más general, transponiendo dos elementos, cualquier mapa multilineal anticonmutativo${\displaystyle g\colon A^{n}\to B}$Satisface

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

si alguno de los${\displaystyle x_{i}}$son iguales; se dice que tal aplicación es alternante . Recíprocamente, utilizando la multilinealidad, cualquier aplicación alternante es anticonmutativa. En el caso binario esto funciona de la siguiente manera: si${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$es alternante entonces por bilinealidad tenemos

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

y la demostración en el caso multilineal es la misma, pero solo en dos de las entradas.

Si${\displaystyle e_{i}^{2}=1,\quad e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0,i\neq j\ ,}$ entonces${\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}.}$^{[ 1 ]}

Algunos ejemplos de operaciones binarias anticonmutativas son:

• producto cruzado
• Corchete de Lie de un álgebra de Lie
• Soporte de mentira de un anillo de mentira
• Sustracción
• Productos de i, j y k en cuaterniones

• Conmutatividad
• Conmutador
• Álgebra exterior
• anillo conmutativo graduado
• Operación (matemáticas)
• Simetría en matemáticas
• Estadísticas de partículas (para la anticonmutatividad en física).

• Bourbaki, Nicolas (1989), «Capítulo III. Álgebras tensoriales , álgebras exteriores , álgebras simétricas », Álgebra. Capítulos 1–3 , Elementos de Matemáticas (2.ª ed  .), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982 , Zbl 0904.00001  .

• Gainov, AT (2001) [1994], "Álgebra anticonmutativa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press. Que hace referencia a la obra rusa original
• Weisstein, Eric W. "Anticonmutativo" . MathWorld .