Antiisomorfismo

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un antiisomorfismo (o anti-isomorfismo ) entre conjuntos estructurados A y B es un isomorfismo de A al opuesto de B (o equivalentemente del opuesto de A a B ). ^{[ 1 ]} Si existe un antiisomorfismo entre dos estructuras, se dice que son antiisomorfas.

Intuitivamente, decir que dos estructuras matemáticas son antiisomorfas equivale a decir que son básicamente opuestas entre sí.

Este concepto resulta particularmente útil en un contexto algebraico, como por ejemplo cuando se aplica a anillos .

Sea A la relación binaria (o grafo dirigido ) que consta de elementos {1,2,3} y relación binaria${\displaystyle \rightarrow }$definido de la siguiente manera:

• ${\displaystyle 1\rightarrow 2,}$
• ${\displaystyle 1\rightarrow 3,}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow 1.}$

Sea B el conjunto de relaciones binarias que consta de elementos { a , b , c } y relaciones binarias${\displaystyle \Rightarrow }$definido de la siguiente manera:

• ${\displaystyle b\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Rightarrow b.}$

Nótese que el opuesto de B (denotado B ^op ) es el mismo conjunto de elementos con la relación binaria opuesta.${\displaystyle \Leftarrow }$(es decir, invertir todos los arcos del grafo dirigido):

• ${\displaystyle b\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Leftarrow b.}$

Si reemplazamos a , b y c por 1, 2 y 3 respectivamente, vemos que cada regla en B ^op es igual a alguna regla en A. Es decir, podemos definir un isomorfismo.${\displaystyle \phi }$de A a B ^op por${\displaystyle \phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c}$.${\displaystyle \phi }$es entonces un antiisomorfismo entre A y B.

Especializando el lenguaje general de la teoría de categorías al tema algebraico de anillos, tenemos: Sean R y S anillos y f : R → S una biyección . Entonces f es un antiisomorfismo de anillos ^{[ 2 ]} si

${\displaystyle f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{y}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{para todo }}x,y\in R.}$

Si R = S, entonces f es un antiautomorfismo de anillo .

Un ejemplo de antiautomorfismo de anillo viene dado por la aplicación conjugada de cuaterniones : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .}$

• Baer, ​​Reinhold (2005) [1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 0-486-44565-8
• Jacobson, Nathan (1948), La teoría de los anillos , Sociedad Matemática Americana, ISBN 0-8218-1502-4{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Pareigis, Bodo (1970), Categorías y functores , Academic Press, ISBN 0-12-545150-4