Triángulo medial

En geometría euclidiana , el triángulo medial o triángulo de puntos medios de un triángulo $△ ABC$ es el triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados $AB$ , $AC$ y $BC$ del triángulo . Es el caso $n = 3$ del polígono de puntos medios de un polígono con $n$ lados. El triángulo medial no es lo mismo que el triángulo mediano , que es el triángulo cuyos lados tienen la misma longitud que las medianas de $△ ABC$ .

Cada lado del triángulo medial se denomina segmento medio (o línea media ). En general, un segmento medio de un triángulo es un segmento de línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud de dicho lado.

Propiedades

$M$ : circuncentro de $△ ABC$ , ortocentro de $△ DEF$ $N$ : incentro de $△ ABC$ , punto de Nagel de $△ DEF$ $S$ : centroide de $△ ABC$ y $△ DEF$

El triángulo medial también puede considerarse como la imagen del triángulo $△ ABC$ transformado por una homotecia centrada en el baricentro con razón -1/2. Por lo tanto, los lados del triángulo medial son la mitad y paralelos a los lados correspondientes de $△ ABC$ . En consecuencia, el triángulo medial es inversamente similar y comparte el mismo baricentro y medianas con $△ ABC$ . De esto se deduce también que el perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro de $△ ABC$ , y que su área es un cuarto del área de $△ ABC$ . Además, los cuatro triángulos en los que se subdivide el triángulo original mediante el triángulo medial son congruentes entre sí por LLL ( lado-lado-lado) , por lo que sus áreas son iguales y, por lo tanto, el área de cada uno es 1/4 del área del triángulo original. ^{[ 1 ]}^{: p.177}

El ortocentro del triángulo medial coincide con el circuncentro del $triángulo ABC$ . Este hecho proporciona una herramienta para demostrar la colinealidad del circuncentro, el baricentro y el ortocentro . El triángulo medial es el triángulo pedal del circuncentro. El círculo de nueve puntos circunscribe el triángulo medial, por lo que el centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial.

El punto de Nagel del triángulo medial es el incentro de su triángulo de referencia. ^{[ 2 ]}^{: p.161, Teorema 337} En particular, esto significa que el incentro de un triángulo debe estar en su triángulo medial. ^{[ 3 ]}^{: p.233, Lema 1}

El incentro del triángulo medial es el centro de Spieker de su triángulo de referencia.

El triángulo medial de un triángulo de referencia es congruente con el triángulo cuyos vértices son los puntos medios entre el ortocentro del triángulo de referencia y sus vértices. ^{[ 2 ]}^{: p.103, #206, p.108, #1}

Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una elipse inscrita en dicho triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo medial. ^{[ 4 ]}^{: p.139}

El triángulo medial es el único triángulo inscrito para el cual ninguno de los otros tres triángulos interiores tiene un área menor. ^{[ 5 ]}^{: pág. 137}

El triángulo de referencia y su triángulo medial son triángulos ortológicos .

Coordenadas

Sean $a = | BC |$ , $b = | CA |$ , $c = | AB |$ las longitudes de los lados del triángulo $△ ABC$ . Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo medial $△ EFD$ vienen dadas por: ${\begin{array}{ccc}E=&0&:&{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]F=&{\frac {1}{a}}&:&0&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]D=&{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&\,0\end{array}}$

Triángulo anticomplementario

Si $△ EFD$ es el triángulo medial de $△ ABC$ , entonces $△ ABC$ es el triángulo anticomplementario o antimedial de $△ EFD$ . El triángulo anticomplementario de $△ ABC$ está formado por tres líneas paralelas a los lados de $△ ABC$ : la paralela a $AB$ que pasa por $C$ , la paralela a $AC$ que pasa por $B$ y la paralela a $BC$ que pasa por $A.$

Coordenadas trilineales para los vértices del triángulo. $\triangle E'F'D'$ anticomplementario a $\triangle ABC$ son dados por: ${\begin{array}{crrr}E'=&-{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]F'=&{\frac {1}{a}}&:&-{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]D'=&{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&-{\frac {1}{c}}\end{array}}$

El nombre " triángulo anticomplementario" se debe a que sus vértices son los anticomplementos de los vértices $A$ , $B$ y $C$ del triángulo de referencia. Los vértices del triángulo medial son los complementos de $A$ , $B$ y $C.$

Véase también

Erizo medio , un concepto análogo para conjuntos convexos más generales.

Referencias

↑ Posamentier, Alfred S., y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
1 2 Altshiller-Court, Nathan. Geometría universitaria . Dover Publications, 2007.
↑ Franzsen, William N. (2011). "La distancia del incentro a la línea de Euler" (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231–236 .
↑ Chakerian, GD «Una visión distorsionada de la geometría». Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
↑ Torrejon, Ricardo M. (2005). "Sobre una desigualdad triangular inscrita en Erdos" . Forum Geometricorum . 5 : 137–141 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Triángulo medial" . MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Triángulo anticomplementario" . MathWorld .

[PL-1] Posamentier, Alfred S., y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.

[ac-2] 1 2 Altshiller-Court, Nathan. Geometría universitaria . Dover Publications, 2007.

[Franzsen-3] Franzsen, William N. (2011). "La distancia del incentro a la línea de Euler" (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231–236 .

[Chakerian-4] Chakerian, GD «Una visión distorsionada de la geometría». Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.

[Torrejon-5] Torrejon, Ricardo M. (2005). "Sobre una desigualdad triangular inscrita en Erdos" . Forum Geometricorum . 5 : 137–141 .

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