matriz antihermítica

En álgebra lineal , se dice que una matriz cuadrada con entradas complejas es antihermítica o sesgada si su transpuesta conjugada es el negativo de la matriz original. ^{[ 1 ]} Es decir, la matriz${\displaystyle A}$es antihermítico si satisface la relación

dónde${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$denota la transpuesta conjugada de la matriz${\displaystyle A}$En forma de componentes, esto significa que

para todos los índices${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$, dónde${\displaystyle a_{ij}}$es el elemento en el${\displaystyle i}$-ésima fila y${\displaystyle j}$-ésima columna de${\displaystyle A}$y la línea superior denota conjugación compleja .

Las matrices antihermíticas pueden entenderse como las versiones complejas de las matrices antisimétricas reales , o como el análogo matricial de los números puramente imaginarios. ^{[ 2 ]} El conjunto de todas las matrices antihermíticas${\displaystyle n\times n}$Las matrices forman el${\displaystyle u(n)}$Álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie U( n ) . El concepto puede generalizarse para incluir transformaciones lineales de cualquier espacio vectorial complejo con una norma sesquilineal .

Nótese que el adjunto de un operador depende del producto escalar considerado en el${\displaystyle n}$espacio complejo dimensional o espacio real${\displaystyle K^{n}}$. Si${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$denota el producto escalar en${\displaystyle K^{n}}$, luego diciendo${\displaystyle A}$es sesgado-adjunto significa que para todo${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \en K^{n}}$uno tiene${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$.

Los números imaginarios pueden considerarse como antiadjuntos (ya que son como${\displaystyle 1\times 1}$matrices), mientras que los números reales corresponden a operadores autoadjuntos .

Por ejemplo, la siguiente matriz es antihermítica. $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$$ porque $${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$$

• Los autovalores de una matriz antihermítica son todos puramente imaginarios (y posiblemente cero). Además, las matrices antihermíticas son normales . Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para autovalores distintos deben ser ortogonales. ^{[ 3 ]}
• Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antihermítica deben ser puramente imaginarios ; es decir, estar en el eje imaginario (el número cero también se considera puramente imaginario). ^{[ 4 ]}
• Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son antihermíticas, entonces${\displaystyle aA+bB}$es antihermítica para todos los escalares reales${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle A}$es antihermítico si y solo si${\displaystyle iA}$(o equivalentemente,${\displaystyle -iA}$) es hermitiano . ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle A}$es antihermítico si y solo si la parte real${\displaystyle \Re {(A)}}$es antisimétrica y la parte imaginaria${\displaystyle \Im {(A)}}$es simétrico .
• Si${\displaystyle A}$es antihermítico, entonces${\displaystyle A^{k}}$es hermitiano si${\displaystyle k}$es un número entero par y antihermítico si${\displaystyle k}$es un número entero impar.
• ${\displaystyle A}$es antihermítico si y solo si${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}$para todos los vectores${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$.
• Si${\displaystyle A}$es antihermítica, entonces la exponencial de la matriz${\displaystyle e^{A}}$es unitario .
• El espacio de matrices antihermíticas forma el álgebra de Lie.${\displaystyle u(n)}$del grupo Lie${\displaystyle U(n)}$.

• La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada.${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$es hermitiano.
• La diferencia entre una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada.${\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}$es antihermítica. Esto implica que el conmutador de dos matrices hermíticas es antihermítico.
• Una matriz cuadrada arbitraria${\displaystyle C}$se puede escribir como la suma de una matriz hermitiana${\displaystyle A}$y una matriz antihermítica${\displaystyle B}$:$${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{con}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{y}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}$$

• Bivector (complejo)
• matriz hermitiana
• Matriz normal
• Matriz antisimétrica
• Matriz unitaria

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.