cizallamiento antiplano

La cizalladura antiplana o deformación antiplana ^{[ 1 ]} es un estado especial de deformación en un cuerpo. Este estado de deformación se alcanza cuando los desplazamientos en el cuerpo son cero en el plano de interés pero distintos de cero en la dirección perpendicular al plano. Para pequeñas deformaciones, el tensor de deformación bajo cizalladura antiplana se puede escribir como

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}0&0&\epsilon _{13}\\0&0&\epsilon _{23}\\\epsilon _{13}&\epsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$

donde el${\displaystyle 12\,}$El plano es el plano de interés y el${\displaystyle 3\,}$La dirección es perpendicular a ese plano.

El campo de desplazamiento que conduce a un estado de cizallamiento antiplano es (en coordenadas cartesianas rectangulares)

${\displaystyle u_{1}=u_{2}=0~;~~u_{3}={\hat {u}}_{3}(x_{1},x_{2})}$

dónde${\displaystyle u_{i},~i=1,2,3}$son los desplazamientos en el${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,}$instrucciones.

Para un material elástico lineal e isotrópico , el tensor de tensiones resultante de un estado de cizallamiento antiplano se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\\0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\\\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&0\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \mu \,}$es el módulo de cizallamiento del material.

La conservación del momento lineal en ausencia de fuerzas inerciales toma la forma de la ecuación de equilibrio . Para estados generales de tensión, existen tres ecuaciones de equilibrio. Sin embargo, para cizallamiento antiplano, con la suposición de que las fuerzas de volumen en las direcciones 1 y 2 son 0, estas se reducen a una ecuación de equilibrio que se expresa como

${\displaystyle \mu ~\nabla ^{2}u_{3}+b_{3}(x_{1},x_{2})=0}$

dónde${\displaystyle b_{3}}$es la fuerza del cuerpo en el${\displaystyle x_{3}}$dirección y${\displaystyle \nabla ^{2}u_{3}={\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}}}$. Tenga en cuenta que esta ecuación es válida solo para deformaciones infinitesimales .

La hipótesis de corte antiplano se utiliza para determinar las tensiones y los desplazamientos debidos a una dislocación de tornillo .

• Teoría de la deformación infinitesimal
• Deformación (mecánica)