Teorema de Apéry

En matemáticas , el teorema de Apéry es un resultado de la teoría de números que establece que la constante de Apéry ζ(3) es irracional . Es decir, el número

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.2020569\ldots }$

no se puede escribir como una fracción${\displaystyle p/q}$donde p y q son números enteros . El teorema lleva el nombre de Roger Apéry .

Los valores especiales de la función zeta de Riemann en los números enteros pares .${\displaystyle 2n}$(${\displaystyle n>0}$Se puede demostrar, en términos de números de Bernoulli, que es irracional, mientras que sigue abierto si los valores de la función son racionales en general o no en los enteros impares .${\displaystyle 2n+1}$(${\displaystyle n>1}$) (aunque se conjetura que son irracionales).

Leonhard Euler demostró que si n es un entero positivo entonces

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}$

para algún número racional${\displaystyle p/q}$. Específicamente, escribiendo la serie infinita de la izquierda como${\displaystyle \zeta (2n)}$, él mostró

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

donde el${\displaystyle B_{n}}$son los números racionales de Bernoulli . Una vez se demostró que${\displaystyle \pi ^{n}}$siempre es irracional, esto demostró que ${\displaystyle \zeta (2n)}$es irracional para todos los enteros positivos n .

No se conoce ninguna representación de este tipo en términos de π para las llamadas constantes zeta para argumentos impares, los valores${\displaystyle \zeta (2n+1)}$para enteros positivos n . Se ha conjeturado que las razones de estas cantidades

${\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}},}$

son trascendentales para cada entero${\displaystyle n\geq 1}$. ^{[ 1 ]}

Debido a esto, no se pudo encontrar ninguna prueba que demostrara que las constantes zeta con argumentos impares eran irracionales, a pesar de que se creía (y todavía se cree) que todas eran trascendentales. Sin embargo, en junio de 1978, Roger Apéry dio una charla titulada "Sur l'irrationalité de ζ(3)". Durante el transcurso de la charla, esbozó pruebas de que${\displaystyle \zeta (3)}$y${\displaystyle \zeta (2)}$eran irracionales, el último usando métodos simplificados de los usados ​​para abordar el primero en lugar de basarse en la expresión en términos de π. Debido a la naturaleza totalmente inesperada de la demostración y el enfoque indiferente y muy superficial de Apéry sobre el tema, muchos de los matemáticos de la audiencia descartaron la demostración por defectuosa. Sin embargo, Henri Cohen , Hendrik Lenstra y Alfred van der Poorten sospecharon que Apéry estaba en lo cierto y se propusieron confirmar su demostración. Dos meses después terminaron la verificación de la demostración de Apéry, y el 18 de agosto Cohen dio una conferencia dando todos los detalles de la demostración. Después de la conferencia, el propio Apéry subió al podio para explicar el origen de algunas de sus ideas. ^{[ 2 ]}

La demostración original de Apéry ^{[ 3 ] [ 4 ]} se basó en el conocido criterio de irracionalidad de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , que establece que un número${\displaystyle \xi }$es irracional si existen infinitos enteros coprimos p y q tales que

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}$

para algún c fijo , δ > 0.

El punto de partida para Apéry fue la representación en serie de${\displaystyle \zeta (3)}$como

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

En términos generales, Apéry definió entonces una secuencia${\displaystyle c_{n,k}}$que converge a${\displaystyle \zeta (3)}$aproximadamente tan rápido como la serie anterior, específicamente

${\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}.}$

Luego definió dos secuencias más.${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle b_{n}}$que, aproximadamente, tienen el cociente${\displaystyle c_{n,k}}$Estas secuencias fueron

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}}$

y

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}.}$

La secuencia${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$converge a${\displaystyle \zeta (3)}$lo suficientemente rápido para aplicar el criterio, pero desafortunadamente${\displaystyle a_{n}}$no es un número entero después${\displaystyle n=2}$. Sin embargo, Apéry demostró que incluso después de multiplicar${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle b_{n}}$Al utilizar un número entero adecuado para solucionar este problema, la convergencia seguía siendo lo suficientemente rápida como para garantizar la irracionalidad.

Dentro de un año del resultado de Apéry, Frits Beukers encontró una demostración alternativa , ^{[ 5 ]} quien reemplazó la serie de Apéry con integrales que involucran los polinomios de Legendre desplazados.${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$Utilizando una representación que posteriormente se generalizaría a la fórmula de Hadjicostas , Beukers demostró que

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)\,dx\,dy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}$

para algunos enteros A _n y B _n (secuencias OEIS : A171484  y OEIS : A171485  ). Usando integración parcial y la suposición de que${\displaystyle \zeta (3)}$era racional e igual a${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$Beukers finalmente derivó la desigualdad

${\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}}$

lo cual es una contradicción ya que la expresión más a la derecha tiende a cero como${\displaystyle n\to \infty }$y, por lo tanto, eventualmente debe caer por debajo${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$.

Una demostración más reciente de Wadim Zudilin recuerda más a la demostración original de Apéry, ^{[ 6 ]} y también tiene similitudes con una cuarta demostración de Yuri Nesterenko . ^{[ 7 ]} Estas demostraciones posteriores derivan nuevamente una contradicción de la suposición de que${\displaystyle \zeta (3)}$es racional mediante la construcción de secuencias que tienden a cero pero están acotadas inferiormente por alguna constante positiva. Son algo menos transparentes que las demostraciones anteriores, ya que se basan en series hipergeométricas .

Véase también Valores particulares de la función zeta de Riemann §  Enteros positivos impares

Apéry y Beukers podrían simplificar sus demostraciones para trabajar en${\displaystyle \zeta (2)}$también gracias a la representación de la serie

${\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Debido al éxito del método de Apéry se emprendió una búsqueda de varios${\displaystyle \xi _{5}}$con la propiedad que

${\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Si tal es un${\displaystyle \xi _{5}}$Si se encontraran entonces los métodos utilizados para probar el teorema de Apéry se esperaría que funcionaran en una prueba que${\displaystyle \zeta (5)}$es irracional. Desafortunadamente, una búsqueda informática exhaustiva ^{[ 8 ]} no ha logrado encontrar tal constante, y de hecho ahora se sabe que si${\displaystyle \xi _{5}}$existe y si es un número algebraico de grado como máximo 25, entonces los coeficientes en su polinomio mínimo deben ser enormes, al menos${\displaystyle 10^{383}}$Por lo tanto, extender la demostración de Apéry para que funcione con constantes zeta impares más altas no parece probable que funcione.

El trabajo de Wadim Zudilin y Tanguy Rivoal ha demostrado que infinitas de las cifras${\displaystyle \zeta (2n+1)}$debe ser irracional, ^{[ 9 ]} e incluso que al menos uno de los números${\displaystyle \zeta (5)}$,${\displaystyle \zeta (7)}$,${\displaystyle \zeta (9)}$, y${\displaystyle \zeta (11)}$debe ser irracional. ^{[ 10 ]} Su trabajo utiliza formas lineales en valores de la función zeta y estimaciones sobre ellos para acotar la dimensión de un espacio vectorial generado por valores de la función zeta en enteros impares. Las esperanzas de que Zudilin pudiera reducir aún más su lista a un solo número no se materializaron, pero el trabajo en este problema sigue siendo un área activa de investigación. Las constantes zeta más altas tienen aplicación en física: describen funciones de correlación en cadenas de espín cuánticas . ^{[ 11 ]}

• Huylebrouck, Dirk (2001). "Similitudes en las demostraciones de irracionalidad para π, ln2, ζ(2) y ζ(3)" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 108 (3): 222– 231. doi : 10.2307/2695383 . JSTOR 2695383 .