Apeirogon

En geometría , un apeirogono ( del griego antiguo ἄπειροv apeiron ' infinito, ilimitado ' y γωνία gonia ' ángulo ' ) o polígono infinito es un polígono con un número infinito de lados. Los apeirogonos son el caso de rango 2 de los politopos infinitos . En algunas publicaciones, el término "apeirogono" puede referirse únicamente al apeirogono regular , con un grupo diedral infinito de simetrías . ^[¹^]

Definiciones

Apeirogon geométrico

Dado un punto A ₀ en un espacio euclidiano y una traslación S , definimos el punto A _i como el punto obtenido tras i aplicaciones de la traslación S a A ₀ , de modo que A _i = S ⁱ ( A ₀ ). El conjunto de vértices A _i con i cualquier entero, junto con las aristas que conectan vértices adyacentes, es una secuencia de segmentos de igual longitud de una línea, y se denomina apeirogon regular según la definición de HSM Coxeter . ^{[ 1 ]}

Un apeirogon regular se puede definir como una partición de la línea euclidiana E ¹ en infinitos segmentos de igual longitud. Generaliza el n -gono regular , que se puede definir como una partición del círculo S ¹ en un número finito de segmentos de igual longitud. ^{[ 2 ]}

pseudógono hiperbólico

El pseudógono regular es una partición de la línea hiperbólica H ¹ (en lugar de la línea euclidiana) en segmentos de longitud 2λ, como análogo del apeirogon regular. ^{[ 2 ]}

Resumen apeirogon

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado P (cuyos elementos se denominan caras ) con propiedades que modelan las de las inclusiones de caras de politopos convexos . El rango (o dimensión) de un politopo abstracto está determinado por la longitud de las cadenas ordenadas máximas de sus caras, y un politopo abstracto de rango n se denomina n - politopo abstracto. ^{[ 3 ]}^{: 22–25}

Para politopos abstractos de rango 2, esto significa que: A) los elementos del conjunto parcialmente ordenado son conjuntos de vértices con cero vértices (el conjunto vacío ), un vértice, dos vértices (una arista ) o el conjunto completo de vértices (una cara bidimensional), ordenados por inclusión de conjuntos; B) cada vértice pertenece a exactamente dos aristas; C) el grafo no dirigido formado por los vértices y las aristas es conexo. ^{[ 3 ]}^{: 22–25}^{[ 4 ]}^{: 224}

Un politopo abstracto se denomina apeirotopo abstracto si tiene infinitos elementos; un 2-apeirotopo abstracto se denomina apeirogono abstracto . ^{[ 3 ]}^{: 25}

Una realización de un politopo abstracto es una aplicación de sus vértices a puntos de un espacio geométrico (típicamente un espacio euclidiano ). ^{[ 3 ]}^{: 121} Una realización fiel es una realización tal que la aplicación de vértices es inyectiva . ^{[ 3 ]}^{: 122}^{[ nota 1 ]} Todo apeirogon geométrico es una realización del apeirogon abstracto.

Simetrías

El grupo diedral infinito G de simetrías de un apeirogon geométrico regular se genera mediante dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. ^{[ 3 ]}^{: 140–141}^{[ 4 ]}^{: 231} El producto de las dos reflexiones puede descomponerse como un producto de una traslación no nula, un número finito de rotaciones y una reflexión posiblemente trivial. ^{[ 3 ]}^{: 141}^{[ 4 ]}^{: 231}

En un politopo abstracto, una bandera es una colección de una cara de cada dimensión, todas incidentes entre sí (es decir, comparables en el orden parcial); un politopo abstracto se denomina regular si posee simetrías (permutaciones de sus elementos que preservan la estructura) que transforman cualquier bandera en cualquier otra. En el caso de un politopo abstracto bidimensional, esto se cumple automáticamente; las simetrías del apeirogon forman el grupo diedral infinito . ^{[ 3 ]}^{: 31}

Una realización simétrica de un apeirogon abstracto se define como una aplicación de sus vértices a un espacio geométrico de dimensión finita (típicamente un espacio euclidiano ) tal que cada simetría del apeirogon abstracto corresponde a una isometría de las imágenes de la aplicación. ^{[ 3 ]}^{: 121}^{[ 4 ]}^{: 225}

Espacio de módulos

En general, el espacio de módulos de una realización fiel de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. ^{[ 3 ]}^{: 127}^{[ 4 ]}^{: 229–230} El cono de realización del apeirogon abstracto tiene dimensión algebraica infinita no numerable y no puede cerrarse en la topología euclidiana . ^{[ 3 ]}^{: 141}^{[ 4 ]}^{: 232}

Clasificación de apeirogons euclidianos

La realización simétrica de cualquier polígono regular en el espacio euclidiano de dimensión mayor que 2 es reducible , lo que significa que puede formarse como una mezcla de dos polígonos de menor dimensión. ^{[ 3 ]} Esta caracterización de los polígonos regulares caracteriza también a los apeirogones regulares. Los apeirogones discretos son el resultado de la mezcla del apeirogon unidimensional con otros polígonos. ^{[ 4 ]}^{: 231} Dado que cada polígono es un cociente del apeirogon, la mezcla de cualquier polígono con un apeirogon produce otro apeirogon. ^{[ 3 ]}

En dos dimensiones, los apeirogones regulares discretos son los polígonos en zigzag infinitos , ^{[ 5 ]} que resultan de la mezcla del apeirogon unidimensional con el digon , representado con el símbolo de Schläfli ${\infty}#{2}$ , ${\infty}#{}$ , o $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$ . ^{[ 3 ]}

En tres dimensiones, los apeirogones regulares discretos son los polígonos helicoidales infinitos, ^{[ 5 ]} con vértices espaciados uniformemente a lo largo de una hélice . Estos son el resultado de mezclar el apeirogon unidimensional con un polígono bidimensional, ${\infty}#{p / q}$ o $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$ . ^{[ 3 ]}

Generalizaciones

Rango superior

Los apeiroedros son los análogos de rango 3 de los apeirogonos y los análogos infinitos de los poliedros . ^{[ 6 ]} De manera más general, los n - apeirotopos o n- politopos infinitos son los análogos n- dimensionales de los apeirogonos y los análogos infinitos de los n - politopos . ^{[ 3 ]}^{: 22–25}

Véase también

Teselado apeirogonal
prisma apeirogonal
antiprisma apeirogonal
Teragon , un polígono generalizado fractal que también tiene infinitos lados.

Notas

↑ McMullen y Schulte (2002) ofrecen una definición más estricta, que exige que las aplicaciones inducidas en caras de rango superior también sean inyectivas. Sin embargo, un politopo regular es degenerado, en cuyo caso no tiene realizaciones fieles, o bien todas las realizaciones fieles a los vértices son fieles. El apeirogon no es degenerado, por lo que esta condición es suficiente para demostrar que sus realizaciones son fieles.

Referencias

1 2 Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares . Londres: Methuen & Co. Ltd. pág. 45.
1 2 Johnson, Norman W. (2018). "11: Grupos de simetría finita". Geometrías y transformaciones . Cambridge University Press . pág. 226. ISBN 9781107103405.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002). Resumen de politopos regulares (1.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-81496-0.
^ McMullen, Peter ( 1994), " Realizaciones de apeirotopos regulares", Aequationes Mathematicae , 47 ( 2– 3 ): 223– 239 , doi : 10.1007 / BF01832961 , MR 1268033 , S2CID 121616949
^ Grünbaum , B. (1977). "Poliedros regulares: antiguos y nuevos". Aecuaciones Mathematicae . 16 : 1–20. doi : 10.1007/BF01836414 . S2CID 125049930 .
↑ Coxeter, HSM (1937). "Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones". Proc. London Math. Soc . 43 : 33–62 .

Enlaces externos

Russell, Robert A. "Apeirogón" . MundoMatemático .
Olshevsky, George. "Apeirogon" . Glosario de Hiperespacio . Archivado del original el 4 de febrero de 2007.

[5] McMullen y Schulte (2002) ofrecen una definición más estricta, que exige que las aplicaciones inducidas en caras de rango superior también sean inyectivas. Sin embargo, un politopo regular es degenerado, en cuyo caso no tiene realizaciones fieles, o bien todas las realizaciones fieles a los vértices son fieles. El apeirogon no es degenerado, por lo que esta condición es suficiente para demostrar que sus realizaciones son fieles.

[Coxeter-1] 1 2 Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares . Londres: Methuen & Co. Ltd. pág. 45.

[Johnson-2] 1 2 Johnson, Norman W. (2018). "11: Grupos de simetría finita". Geometrías y transformaciones . Cambridge University Press . pág. 226. ISBN 9781107103405.

[McMullen-Schulte-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002). Resumen de politopos regulares (1.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-81496-0.

[McMullen-4] McMullen, Peter ( 1994), " Realizaciones de apeirotopos regulares", Aequationes Mathematicae , 47 ( 2– 3 ): 223– 239 , doi : 10.1007 / BF01832961 , MR 1268033 , S2CID 121616949

[Grünbaum-6] Grünbaum , B. (1977). "Poliedros regulares: antiguos y nuevos". Aecuaciones Mathematicae . 16 : 1–20. doi : 10.1007/BF01836414 . S2CID 125049930 .

[7] Coxeter, HSM (1937). "Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones". Proc. London Math. Soc . 43 : 33–62 .

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