Teorema de Apéry

En matemáticas , el teorema de Apéry es un resultado de la teoría de números que establece que la constante de Apéry ζ(3) es irracional . Es decir, el número

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.2020569\ldots }$

no se puede escribir como una fracción donde p y q son números enteros . El teorema recibe su nombre de Roger Apéry . ${\estilo de visualización p/q}$

Los valores especiales de la función zeta de Riemann en los números enteros pares ( ) se pueden demostrar en términos de números de Bernoulli como irracionales, mientras que queda abierto si los valores de la función son en general racionales o no en los números enteros impares ( ) (aunque se conjetura que son irracionales). ${\estilo de visualización 2n}$${\estilo de visualización n>0}$${\estilo de visualización 2n+1}$${\estilo de visualización n>1}$

Leonhard Euler demostró que si n es un entero positivo entonces

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}$

para algún número racional . Específicamente, escribiendo la serie infinita a la izquierda como , demostró ${\estilo de visualización p/q}$${\displaystyle \zeta(2n)}$

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

donde son los números racionales de Bernoulli . Una vez que se demostró que es siempre irracional, esto demostró que es irracional para todos los números enteros positivos n . $Estilo de visualización B_{n}$${\displaystyle \pi ^{n}}$${\displaystyle \zeta(2n)}$

No se conoce ninguna representación en términos de π para las llamadas constantes zeta para argumentos impares, los valores para números enteros positivos n . Se ha conjeturado que las proporciones de estas cantidades $Estilo de visualización: zeta (2n+1)$

${\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}},}$

son trascendentales para cada entero . ^[1]${\displaystyle n\geq 1}$

Debido a esto, no se pudo encontrar ninguna prueba que mostrara que las constantes zeta con argumentos impares eran irracionales, a pesar de que se creía (y todavía se cree) que todas eran trascendentales. Sin embargo, en junio de 1978, Roger Apéry dio una charla titulada "Sur l'irrationalité de ζ(3)". Durante el transcurso de la charla, esbozó pruebas de que y eran irracionales, la última utilizando métodos simplificados de los utilizados para abordar la primera en lugar de confiar en la expresión en términos de π. Debido a la naturaleza completamente inesperada de la prueba y al enfoque indiferente y muy esquemático de Apéry sobre el tema, muchos de los matemáticos de la audiencia descartaron la prueba como defectuosa. Sin embargo, Henri Cohen , Hendrik Lenstra y Alfred van der Poorten sospecharon que Apéry estaba en algo y se dispusieron a confirmar su prueba. Dos meses después, terminaron la verificación de la prueba de Apéry y el 18 de agosto, Cohen dio una conferencia dando todos los detalles de la prueba. Después de la conferencia, el propio Apéry subió al podio para explicar el origen de algunas de sus ideas. ^[2]${\displaystyle \zeta (3)}$${\displaystyle \zeta (2)}$

La prueba original de Apéry ^{[3] [4]} se basó en el conocido criterio de irracionalidad de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , que establece que un número es irracional si hay infinitos números enteros coprimos p y q tales que ${\estilo de visualización \xi}$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}$

para algún c fijo , δ > 0.

El punto de partida de Apéry fue la representación en serie de como ${\displaystyle \zeta (3)}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^ {3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

En términos generales, Apéry definió entonces una secuencia que converge aproximadamente tan rápido como la serie anterior, específicamente $estilo de visualización c_{n,k}}$${\displaystyle \zeta (3)}$

${\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}.}$

Luego definió dos sucesiones más y que, aproximadamente, tienen el cociente . Estas sucesiones fueron ${\displaystyle a_{n}}$$Estilo de visualización b_{n}$$estilo de visualización c_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _ {k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k }}^{2}}$

y

${\displaystyle b_{n}=\sum _ {k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2} .}$

La secuencia converge a lo suficientemente rápido como para aplicar el criterio, pero desafortunadamente no es un entero después de . No obstante, Apéry demostró que incluso después de multiplicar y por un entero adecuado para solucionar este problema, la convergencia era lo suficientemente rápida como para garantizar la irracionalidad. ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$${\displaystyle \zeta (3)}$${\displaystyle a_{n}}$${\estilo de visualización n=2}$${\displaystyle a_{n}}$$Estilo de visualización b_{n}$

Un año después del resultado de Apéry, Frits Beukers encontró una prueba alternativa ^[5] , quien reemplazó la serie de Apéry con integrales que involucraban los polinomios de Legendre desplazados . Utilizando una representación que luego se generalizaría a la fórmula de Hadjicostas , Beukers demostró que ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)dxdy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {mcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}$

para algunos números enteros A _n y B _n (secuencias OEIS : A171484 y OEIS : A171485 ). Utilizando la integración parcial y el supuesto de que era racional e igual a , Beukers finalmente derivó la desigualdad ${\displaystyle \zeta (3)}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}}$

lo cual es una contradicción ya que la expresión más a la derecha tiende a cero cuando , y por lo tanto eventualmente debe caer por debajo de . ${\displaystyle n\to \infty}$${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$

Una prueba más reciente de Wadim Zudilin recuerda más a la prueba original de Apéry, ^[6] y también tiene similitudes con una cuarta prueba de Yuri Nesterenko . ^[7] Estas pruebas posteriores nuevamente derivan una contradicción del supuesto de que es racional al construir secuencias que tienden a cero pero están limitadas por debajo por alguna constante positiva. Son algo menos transparentes que las pruebas anteriores, ya que se basan en series hipergeométricas . ${\displaystyle \zeta (3)}$

Véase también Valores particulares de la función zeta de Riemann § Números enteros positivos impares

Apéry y Beukers también pudieron simplificar sus demostraciones para trabajar gracias a la representación en serie.${\displaystyle \zeta (2)}$

${\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Debido al éxito del método de Apéry, se emprendió una búsqueda de un número con la propiedad de que ${\displaystyle \xi _{5}}$

${\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{ \binom {2n}{n}}}}.}$

Si se encontrara tal constante , se esperaría que los métodos utilizados para demostrar el teorema de Apéry funcionaran en una prueba que es irracional. Desafortunadamente, una búsqueda exhaustiva por computadora ^[8] no ha logrado encontrar dicha constante y, de hecho, ahora se sabe que si existe y si es un número algebraico de grado 25 como máximo, entonces los coeficientes en su polinomio mínimo deben ser enormes, al menos , por lo que extender la prueba de Apéry para que funcione en las constantes zeta de mayor impar no parece probable que funcione. ${\displaystyle \xi _{5}}$${\displaystyle \zeta (5)}$${\displaystyle \xi _{5}}$${\estilo de visualización 10^{383}}$

El trabajo de Wadim Zudilin y Tanguy Rivoal ha demostrado que una cantidad infinita de números deben ser irracionales, ^[9] e incluso que al menos uno de los números , , , y debe ser irracional. ^[10] Su trabajo utiliza formas lineales en valores de la función zeta y estimaciones a partir de ellas para limitar la dimensión de un espacio vectorial abarcado por valores de la función zeta en números enteros impares. Las esperanzas de que Zudilin pudiera reducir aún más su lista a un solo número no se materializaron, pero el trabajo sobre este problema sigue siendo un área activa de investigación. Las constantes zeta más altas tienen aplicación en la física: describen funciones de correlación en cadenas de espín cuántico . ^[11]$Estilo de visualización: zeta (2n+1)$${\displaystyle \zeta (5)}$${\displaystyle \zeta (7)}$${\displaystyle \zeta (9)}$${\displaystyle \zeta (11)}$

• Huylebrouck, Dirk (2001). "Similitudes en las pruebas de irracionalidad para π, ln2, ζ(2) y ζ(3)" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 108 (3): 222–231. doi :10.2307/2695383. JSTOR  2695383.