El teorema de Apolonio

En geometría , el teorema de Apolonio relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con la longitud de sus lados. Este teorema establece que la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual al doble del cuadrado de la mitad del tercer lado más el doble del cuadrado de la mediana que biseca dicho tercer lado.

El teorema se encuentra como la proposición VII.122 de la Colección de Papo de Alejandría ( c. 340 d. C. ). Es posible que estuviera en el tratado perdido de Apolonio de Perga, Plane Loci (c. 200 a. C.), y fue incluido en la reconstrucción de dicha obra realizada por Robert Simson en 1749. ^{[ 1 ]}

En cualquier triángulo${\displaystyle ABC,}$si${\displaystyle AD}$es una mediana (${\displaystyle |BD|=|CD|}$), entonces $${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).}$$ Es un caso especial del teorema de Stewart . Para un triángulo isósceles con${\displaystyle |AB|=|AC|,}$la mediana${\displaystyle AD}$es perpendicular a${\displaystyle BC}$y el teorema se reduce al teorema de Pitágoras para triángulos${\displaystyle ADB}$(o triángulo)${\displaystyle ADC}$). Del hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, el teorema es equivalente a la ley del paralelogramo .

El teorema puede demostrarse como un caso particular del teorema de Stewart , o bien mediante vectores (véase la ley del paralelogramo ). A continuación se presenta una demostración independiente utilizando la ley de los cosenos. ^{[ 2 ]}

Supongamos que el triángulo tiene lados${\displaystyle a,b,c}$con una mediana${\displaystyle d}$dibujado hacia un lado${\displaystyle a.}$Dejar${\displaystyle m}$sea ​​la longitud de los segmentos de${\displaystyle a}$formada por la mediana, por lo tanto${\displaystyle m}$es la mitad de${\displaystyle a.}$Sea que los ángulos formados entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle d}$ser${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \theta ^{\prime },}$dónde${\displaystyle \theta }$incluye${\displaystyle b}$y${\displaystyle \theta ^{\prime }}$incluye${\displaystyle c.}$Entonces${\displaystyle \theta ^{\prime }}$es el suplemento de${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$La ley de los cosenos para${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \theta ^{\prime }}$afirma que $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$$

Suma la primera y la tercera ecuación para obtener $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$ según sea necesario.

• Fórmulas que involucran las longitudes de las medianas : segmento de recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. 

• Allen, Frank B. (1950). "Enseñanza para la generalización en geometría". The Mathematics Teacher . 43 : 245–251 . JSTOR 27953576 . 
• Bunt, Lucas NH; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). Las raíces históricas de las matemáticas elementales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 198–199 . ISBN  0133890155.Reimpresión de Dover, 1988.
• Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (2019). "Las múltiples caras del teorema de Pitágoras". The College Mathematics Journal . 50 (3): 162– 172. JSTOR 48661800 . 
• Godfrey, Charles; Siddons, Arthur W. (1908). Geometría moderna . Cambridge University Press. págs. 20–21 . 
• Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T.; Martini, Horst (2022). "El teorema del triángulo mediano como introducción a ciertos temas de la geometría de dimensiones superiores". Mathematische Semesterberichte . 69 : 19–40 . doi : 10.1007/s00591-021-00308-5 .
• Lawes, C. Peter (2013). "Demostración sin palabras: La longitud de la mediana de un triángulo mediante el paralelogramo". Mathematics Magazine . 86 (2): 146. doi : 10.4169/math.mag.86.2.146 .
• Lopes, André Von Borries (2024). "El teorema de Apolonio mediante la fórmula de Herón". Mathematics Magazine . 97 (3): 272– 273. doi : 10.1080/0025570X.2024.2336425 .
• Nelsen, Roger B. (2024). "El teorema de Apolonio a través del teorema de Ptolomeo". Mathematics Magazine . doi : 10.1080/0025570X.2024.2385255 .
• Rose, Mike (2007). "27. Reflexiones sobre el teorema de Apolonio". Notas de recursos. Matemáticas en la escuela . 36 (5): 24– 25. JSTOR 30216074 . 
• Stokes, GDC (1929). "El teorema de Apolonio por disección". Notas Matemáticas . 24 : xviii. doi : 10.1017/S1757748900001973 .
• Surowski, David B. (2010) [2007]. Matemáticas avanzadas de bachillerato (apuntes de clase) (9.ª edición preliminar  ). Shanghai American School. pág.  27.