Círculos de Apolonio

Los círculos de Apolonio son conjuntos de círculos asociados con Apolonio de Perga , un renombrado geómetra griego . La mayoría de estos círculos se encuentran en la geometría euclidiana plana , pero se han definido análogos en otras superficies; por ejemplo, se pueden definir contrapartes en la superficie de una esfera mediante proyección estereográfica .

Los principales usos de este término son cinco:

Apolonio demostró que un círculo puede definirse como el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos puntos fijos, conocidos como focos , guardan una relación específica . Este círculo apolíneo es la base del problema de persecución de Apolonio. Se trata de un caso particular de la primera familia descrita en el apartado 2.
Los círculos apolíneos son dos familias de círculos mutuamente ortogonales . La primera familia consta de los círculos con todas las posibles razones de distancia a dos focos fijos (los mismos círculos que en el punto 1), mientras que la segunda familia consta de todos los círculos posibles que pasan por ambos focos. Estos círculos forman la base de las coordenadas bipolares .
Los círculos de Apolonio de un triángulo son tres círculos, cada uno de los cuales pasa por un vértice del triángulo y mantiene una relación constante de distancias con los otros dos. Los puntos isodinámicos y la recta de Lemoine de un triángulo se pueden calcular utilizando estos círculos de Apolonio.
El problema de Apolonio consiste en construir círculos que sean tangentes simultáneamente a tres círculos específicos. Las soluciones a este problema se conocen a veces como los círculos de Apolonio .
La junta apolínea —uno de los primeros fractales descritos— es un conjunto de círculos mutuamente tangentes, formados al resolver iterativamente el problema de Apolonio.

Definición de círculo según Apolonio

Un círculo se define generalmente como el conjunto de puntos $P$ situados a una distancia $r$ (el radio del círculo) de un punto dado (el centro del círculo). Sin embargo, existen otras definiciones equivalentes de círculo. Apolonio descubrió que un círculo podía definirse como el conjunto de puntos P $que$ $guardan$ una relación de distancias $k = d₁ / d₂ con$ dos puntos dados (etiquetados como $A$ $y$ B $en$ la figura). Estos dos puntos se denominan a veces $focos$ .

Demostración mediante vectores en espacios euclidianos

Sean $d 1$ , $d 2$ números reales positivos distintos. Sea $C$ el punto de división interna de $AB$ en la razón $d 1 : d 2$ y $D$ el punto de división externa de $AB$ en la misma razón, $d 1 : d 2$ .

${\overrightarrow {PC}}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}+d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}+d_{1}}},\quad {\overrightarrow {PD}}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}-d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}-d_{1}}}.$

Entonces, ${\begin{aligned}&PA:PB=d_{1}:d_{2}.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}|{\overrightarrow {PA}}|=d_{1}|{\overrightarrow {PB}}|.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}^{2}|{\overrightarrow {PA}}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {PB}}|^{2}.\\\Leftrightarrow {}&(d_{2}{\overrightarrow {PA}}+d_{1}{\overrightarrow {PB}})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {PA}}-d_{1}{\overrightarrow {PB}})=0.\\\Leftrightarrow {}&{\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}+d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}-d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}-d_{1}}}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD}}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {PC}}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {PD}}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {PC}}\perp {\overrightarrow {PD}}.\\\Leftrightarrow {}&P=C\vee P=D\vee \angle CPD=90^{\circ }.\end{aligned}}$

Por lo tanto, el punto $P$ está en el círculo que tiene diámetro $CD$ .

Demostración mediante el teorema de la bisectriz del ángulo.

Consideremos primero el punto $C$ en el segmento de recta entre $A$ y $B$ , que satisface la razón. Por definición ${\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}$ y por el recíproco del teorema de la bisectriz del ángulo , los ángulos $α = ∠ APC$ y $β = ∠ CPB$ son iguales.

A continuación, tomemos el otro punto $D$ en la línea extendida $AB$ que satisface la razón. Entonces ${\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AD|}{|BD|}}.$ Consideremos también otro punto $Q en cualquier lugar de la recta$ $AP$ extendida . Nuevamente, por el recíproco del teorema de la bisectriz del ángulo, la recta $PD$ biseca el ángulo exterior $∠ QPB$ . Por lo tanto, $γ = ∠ BPD$ y $δ = ∠ QPD$ son iguales y $β + γ = 90 °$ . En consecuencia, por el teorema de Tales $, P$ se encuentra en la circunferencia cuyo diámetro es $CD .$

El problema de persecución de Apolonio

El problema de persecución de Apolonio consiste en determinar si un barco que parte de un punto $A$ a una velocidad $v A$ interceptará a otro barco que parte de un punto $B$ diferente a una velocidad $v B$ . El tiempo mínimo de intercepción de los dos barcos se calcula mediante trayectorias en línea recta. Si las velocidades de los barcos se mantienen constantes, su relación de velocidades se define por $μ$ . Si ambos barcos colisionan o se encuentran en un punto futuro, $I$ , entonces las distancias de cada uno están relacionadas por la ecuación: ^{[ 1 ]}

$a=\mu b$

Las distancias en cuestión son:

${\begin{aligned}a&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\b&={\sqrt {(dx)^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}$

Sustituyendo $a$ y $b$ y elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos:

${\begin{aligned}a^{2}&=\mu ^{2}b^{2}\\x^{2}+y^{2}&=\mu ^{2}\left[(dx)^{2}+y^{2}\right]\\&=\mu ^{2}\left[d^{2}+x^{2}-2dx+y^{2}\right]\\&=x^{2}\mu ^{2}+y^{2}\mu ^{2}+d^{2}\mu ^{2}-2dx\mu ^{2}\end{aligned}}$

Llevando al lado izquierdo: $x^{2}-x^{2}\mu ^{2}+y^{2}-y^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0$

Factorización: $x^{2}(1-\mu ^{2})+y^{2}(1-\mu ^{2})-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0$

Dividiendo por $1-\mu ^{2}$ : $x^{2}+y^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {2dx\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}=0$

Completando el cuadrado: $\left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+y^{2}=0$

Traslada los términos que no estén al cuadrado al lado derecho: ${\begin{aligned}\left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\\[2pt]&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}{\frac {(1-\mu ^{2})}{(1-\mu ^{2})}}\\[2pt]&={\frac {d^{2}\mu ^{4}+d^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\\[2pt]&={\frac {d^{2}\mu ^{2}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\end{aligned}}$

Entonces: $\left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {d\mu }{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}$

Por lo tanto, el punto debe estar situado sobre un círculo tal como lo definió Apolonio, con sus puntos de partida como focos.

Círculos que comparten un eje radical

Los círculos definidos por el problema de persecución apolínea para los mismos dos puntos $A$ y $B$ , pero con diferentes razones entre las dos velocidades, son disjuntos entre sí y forman una familia continua que cubre todo el plano; esta familia de círculos se conoce como haz hiperbólico . Otra familia de círculos, los que pasan por $A$ y $B$ , también se denomina haz, o más específicamente, haz elíptico . Estos dos haces de círculos apolíneos se intersecan en ángulo recto y forman la base del sistema de coordenadas bipolares . Dentro de cada haz, cualesquiera dos círculos tienen el mismo eje radical ; los dos ejes radicales de los dos haces son perpendiculares, y los centros de los círculos de un haz se encuentran sobre el eje radical del otro.

Soluciones al problema de Apolonio

El problema de Apolonio puede tener hasta ocho soluciones. Los tres círculos dados se muestran en negro, mientras que los círculos de las soluciones están coloreados.

En la geometría plana euclidiana , el problema de Apolonio consiste en construir círculos que sean tangentes a tres círculos dados en un plano.

Tres círculos dados tienen, en general, ocho círculos tangentes diferentes, en cuatro pares conjugados. Cada par corresponde a una de las cuatro maneras de dividir los tres círculos dados en dos subconjuntos, separados entre sí por el círculo tangente.

junta apolínea

Al resolver repetidamente el problema de Apolonio para encontrar el círculo inscrito, los intersticios entre círculos mutuamente tangentes pueden llenarse arbitrariamente fino, formando una junta apolínea , también conocida como empaquetamiento de Leibniz o empaquetamiento apolíneo . ^{[ 2 ]} Esta junta es un fractal , siendo autosimilar y teniendo una dimensión d que no se conoce exactamente pero es aproximadamente 1,3, ^{[ 3 ]} que es mayor que la de una curva regular (o rectificable ) ( d = 1) pero menor que la de un plano ( d = 2). La junta apolínea fue descrita por primera vez por Gottfried Leibniz en el siglo XVII, y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX . ^{[ 4 ]} La junta apolínea también tiene profundas conexiones con otros campos de las matemáticas; por ejemplo, es el conjunto límite de los grupos kleinianos ; ^{[ 5 ]} véase también el teorema del empaquetamiento de círculos .

Puntos isodinámicos de un triángulo

Los círculos de Apolonio también pueden denotar tres círculos especiales. ${\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},{\mathcal {C}}_{3}$ definido por un triángulo arbitrario $\mathrm {A_ {1} A_ {2} A_ {3}}$ El círculo ${\mathcal {C}}_{1}$ se define como el único círculo que pasa por el vértice del triángulo $\mathrm {A_ {1}}$ que mantiene una relación constante de distancias a los otros dos vértices $\mathrm {A_ {2}}$ y $\mathrm {A_ {3}}$ (cf. la definición de círculo de Apolonio más arriba). De manera similar, el círculo ${\mathcal {C}}_{2}$ se define como el único círculo que pasa por el vértice del triángulo $\mathrm {A_ {2}}$ que mantiene una relación constante de distancias a los otros dos vértices $\mathrm {A_ {1}}$ y $\mathrm {A_ {3}}$ y así sucesivamente para el círculo ${\mathcal {C}}_{3}$ .

Las tres circunferencias intersecan ortogonalmente la circunferencia circunscrita al triángulo . Las tres circunferencias pasan por dos puntos, conocidos como puntos isodinámicos. $S$ y $S^{\prime }$ del triángulo. La línea que conecta estos puntos de intersección comunes es el eje radical de los tres círculos. Los dos puntos isodinámicos son inversos entre sí con respecto a la circunferencia circunscrita del triángulo.

Los centros de estos tres círculos coinciden en una misma línea (la línea de Lemoine ). Esta línea es perpendicular al eje radical, que es la línea determinada por los puntos isodinámicos.

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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[4] Mandelbrot, B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman. pág . 170. ISBN 978-0-7167-1186-5.Aste, T., y Weaire, D. (2008). La búsqueda del empaquetado perfecto (2.ª ed.). Nueva York: Taylor and Francis. págs. 131-138 . ISBN 978-1-4200-6817-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

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