Limón (geometría)

En geometría , un limón es una figura geométrica que se construye como la superficie de revolución de un arco circular con un ángulo menor a la mitad de un círculo completo, girado alrededor de un eje que pasa por los extremos de la lente (o arco). La superficie de revolución del arco complementario del mismo círculo, que pasa por el mismo eje, se llama manzana .

La manzana y el limón juntos forman un toroide husoide (o toroide autointersecante o toroide autointersecante ). El limón forma el límite de un conjunto convexo , mientras que la manzana que lo rodea no es convexa. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El balón en el fútbol norteamericano tiene una forma que recuerda a un limón geométrico. Sin embargo, aunque se usa con un significado relacionado en geometría, el término "fútbol" se usa más comúnmente para referirse a una superficie de revolución cuya curvatura gaussiana es positiva y constante , formada a partir de una curva más compleja que un arco circular. ^{[ 3 ]} Alternativamente, un balón de fútbol puede referirse a un orbifold más abstracto , una superficie modelada localmente sobre una esfera excepto en dos puntos. ^{[ 4 ]}

El limón se genera al girar un arco de radio${\displaystyle R}$y medio ángulo${\displaystyle \phi _{m}}$menos que${\displaystyle \pi /2}$sobre su acorde. Tenga en cuenta que${\displaystyle \phi }$denota latitud, como se usa en geofísica. El área de la superficie viene dada por ^{[ 5 ].}$${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})\,d\phi .}$$

El volumen viene dado por $${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{2}\cos \phi \,d\phi .}$$

Estas integrales pueden evaluarse analíticamente, dando como resultado: $${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m}),}$$$${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right].}$$

La manzana se genera al rotar un arco de medio ángulo.${\displaystyle \phi _{m}}$más que${\displaystyle \pi /2}$sobre su cuerda. Las ecuaciones anteriores son válidas tanto para el limón como para la manzana.

• Lista de formas
• Carrocería Sears-Haack
• Vesica piscis

• Weisstein, Eric W. , "Superficie de limón" , MathWorld
• Superficie con forma de balón de fútbol americano (tipo huso) de curvatura constante positiva en la colección de modelos de la Universidad de Groningen.