Grupo aproximado

En matemáticas , un grupo aproximado es un subconjunto de un grupo que se comporta como tal , salvo un error constante, en un sentido cuantitativo preciso (por lo que el término subgrupo aproximado podría ser más correcto). Por ejemplo, se requiere que el conjunto de productos de elementos del subconjunto no sea mucho mayor que el propio subconjunto (mientras que para un subgrupo se requiere que sean iguales). Esta noción se introdujo en la década de 2010, pero tiene sus orígenes en fuentes más antiguas de la combinatoria aditiva .

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo y${\displaystyle K\geq 1}$; para dos subconjuntos${\displaystyle X,Y\subset G}$denotamos por${\displaystyle X\cdot Y}$el conjunto de todos los productos${\displaystyle xy,x\in X,y\in Y}$. Un subconjunto no vacío${\displaystyle A\subset G}$es un${\displaystyle K}$-subgrupo aproximado de${\displaystyle G}$si: ^{[ 1 ]}

1. Es simétrico, es decir, si${\displaystyle g\in A}$entonces${\displaystyle g^{-1}\in A}$;
2. Existe un subconjunto${\displaystyle X\subset G}$de cardinalidad${\displaystyle |X|\leq K}$de tal manera que${\displaystyle A\cdot A\subset X\cdot A}$.

Se verifica inmediatamente que un subgrupo finito 1-aproximado es lo mismo que un subgrupo genuino. Por supuesto, esta definición solo es interesante cuando${\displaystyle K}$es pequeño en comparación con${\displaystyle |A|}$(en particular, cualquier subconjunto${\displaystyle B\subset G}$es un${\displaystyle |B|}$-subgrupo aproximado). En las aplicaciones se usa a menudo con${\displaystyle K}$siendo reparado y${\displaystyle |A|}$yendo al infinito.

Ejemplos de subgrupos aproximados que no son grupos se dan mediante intervalos simétricos y, más generalmente, progresiones aritméticas en los enteros. De hecho, para todo${\displaystyle n\geq 1}$el subconjunto${\displaystyle X=[-N,N]\subset \mathbb {Z} }$es un subgrupo 2-aproximado: el conjunto${\displaystyle X+X=[-2N,2N]}$está contenido en la unión de las dos traducciones${\displaystyle X+N}$y${\displaystyle XN}$de${\displaystyle X}$. Una progresión aritmética generalizada en${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un subconjunto en${\displaystyle \mathbb {Z} }$de la forma${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}:|n_{i}|\leq N_{i}\}}$y es un${\displaystyle 2^{d}}$-subgrupo aproximado.

Un ejemplo más general lo proporcionan las bolas en la métrica de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados .

Subgrupos aproximados del grupo de números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$fueron clasificados completamente por Imre Z. Ruzsa y Freiman. ^{[ 2 ]} El resultado se enuncia de la siguiente manera:

Para cualquier${\displaystyle K\geq 1}$hay${\displaystyle C_{K},c_{K}>0}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle K}$-subgrupo aproximado${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$Existe una progresión aritmética generalizada.${\displaystyle P}$generado por como máximo${\displaystyle C_{K}}$números enteros y que contengan al menos${\displaystyle c_{K}|A|}$elementos, de tal manera que${\displaystyle A+A+A+A\supset P}$.

Las constantes${\displaystyle C_{K},C_{K}',c_{K}}$puede estimarse con precisión. ^{[ 3 ]} En particular${\displaystyle A}$está contenido en como máximo${\displaystyle C_{K}'}$traducciones de${\displaystyle P}$: esto significa que subgrupos aproximados de${\displaystyle \mathbb {Z} }$son progresiones aritméticas "casi" generalizadas.

La obra de Breuillard – Green – Tao (culminación de un esfuerzo iniciado unos años antes por varias otras personas) es una vasta generalización de este resultado. En forma muy general, su enunciado es el siguiente: ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle K\geq 1}$; existe${\displaystyle C_{K}}$de tal manera que se cumpla lo siguiente. Sea${\displaystyle G}$ser un grupo y${\displaystyle A}$a${\displaystyle K}$-subgrupo aproximado en${\displaystyle G}$Existen subgrupos${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$con${\displaystyle H}$finito y${\displaystyle G_{0}/H}$nilpotente tal que${\displaystyle A^{4}\supset H}$, el subgrupo generado por${\displaystyle A^{4}}$contiene${\displaystyle G_{0}}$, y${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$con${\displaystyle |X|\leq C_{K}}$.

La declaración también proporciona información sobre las características (rango y nivel) del grupo nilpotente.${\displaystyle G_{0}/H}$.

En el caso donde${\displaystyle G}$es un grupo de matrices finito los resultados se pueden hacer más precisos, por ejemplo: ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle K\geq 1}$. Para cualquier${\displaystyle d}$hay una constante${\displaystyle C_{d}}$de tal manera que para cualquier campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$cualquier subgrupo simple${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$y cualquier${\displaystyle K}$-subgrupo aproximado${\displaystyle A\subset G}$entonces o${\displaystyle A}$está contenido en un subgrupo propio de${\displaystyle G}$, o${\displaystyle |A|\leq K^{C_{d}}}$, o${\displaystyle |A|\geq |G|/K^{C_{d}}}$.

El teorema se aplica, por ejemplo, a${\displaystyle \mathrm {SL} _ {d}(\mathbb {F} _ {q})}$; la cuestión es que la constante no depende de la cardinalidad${\displaystyle q}$del campo. En cierto sentido, esto significa que no hay subgrupos aproximados interesantes (aparte de los subgrupos genuinos) en grupos lineales simples finitos (son "triviales", es decir, muy pequeños, o "no propios", es decir, casi iguales a todo el grupo).

El teorema de Breuillard - Green - Tao sobre la clasificación de grupos aproximados puede utilizarse para dar una nueva demostración del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . El resultado obtenido es en realidad un poco más fuerte, ya que establece que existe una " brecha de crecimiento " entre grupos virtualmente nilpotentes (de crecimiento polinomial) y otros grupos; es decir, existe una función (superpolinomial)${\displaystyle f}$de tal manera que cualquier grupo con función de crecimiento limitada por un múltiplo de${\displaystyle f}$es prácticamente nilpotente. ^{[ 6 ]}

Otras aplicaciones son la construcción de grafos expansores a partir de los grafos de Cayley de grupos simples finitos, y el tema relacionado de la aproximación superfuerte . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Breuillard, Emmanuel (2012). «Grafos expansores, propiedad ( τ ) y grupos aproximados». En Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (eds.). Teoría geométrica de grupos (PDF) . Serie de matemáticas IAS/Park City. Vol.  21. American Math. Soc. pp. 325–378 . 
• Breuillard, Emmanuel; Tao, Terencia; Verde, Ben (2012). "La estructura de grupos aproximados" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115–221 . arXiv : 1110.5008 . doi : 10.1007/s10240-012-0043-9 . S2CID 119603959 . 
• Green, Ben (mayo de 2012). "¿Qué es... un grupo aproximado?" (PDF) . Notices of the AMS . 59 (5).