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Articulo de referencia

Propiedad de aproximación

La construcción de un espacio Banach sin la propiedad de aproximación le valió a Per Enflo un ganso vivo en 1972, lo que Stanisław Mazur (izquierda) había prometido en 1936. [1]...

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La construcción de un espacio Banach sin la propiedad de aproximación le valió a Per Enflo un ganso vivo en 1972, lo que Stanisław Mazur (izquierda) había prometido en 1936. [1]

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación (PA) si cada operador compacto es un límite de operadores de rango finito . La inversa siempre es cierta.

Todo espacio de Hilbert posee esta propiedad. Sin embargo, existen espacios de Banach que no la poseen; Per Enflo publicó el primer contraejemplo en un artículo de 1973. Sin embargo, Grothendieck (1955) realizó mucho trabajo en esta área .

Posteriormente se encontraron muchos otros contraejemplos. El espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión infinita no tiene la propiedad de aproximación. [2] Los espacios para y (véase Espacio de sucesiones ) tienen subespacios cerrados que no tienen la propiedad de aproximación. yo ( yo ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(H)} yo {\estilo de visualización H} ℓ pag {\displaystyle \ell ^{p}} pag ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} do 0 estilo de visualización c_{0}}

Definición

Se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo X tiene la propiedad de aproximación , si el mapa identidad puede aproximarse, uniformemente en conjuntos precompactos , mediante mapas lineales continuos de rango finito. [3]

Para un espacio localmente convexo X , las siguientes son equivalentes: [3]

  1. X tiene la propiedad de aproximación;
  2. el cierre de in contiene el mapa de identidad ; incógnita " ⊗ incógnita {\displaystyle X^{\prime }\o veces X} yo pag ⁡ ( incógnita , incógnita ) {\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,X)} Identificación : incógnita → incógnita {\displaystyle\operatorname {Id} :X\to X}
  3. incógnita " ⊗ incógnita {\displaystyle X^{\prime }\o veces X} es denso en ; yo pag ⁡ ( incógnita , incógnita ) {\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,X)}
  4. para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ; incógnita " ⊗ Y {\displaystyle X^{\prime }\otimes Y} yo pag ⁡ ( incógnita , Y ) {\displaystyle \operatorname {L}_{p}(X,Y)}
  5. para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ; Y " ⊗ incógnita {\displaystyle Y^{\prime }\o veces X} yo pag ⁡ ( Y , incógnita ) {\displaystyle \operatorname {L} _{p}(Y,X)}

donde denota el espacio de operadores lineales continuos de X a Y dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos precompactos de X . yo pag ⁡ ( incógnita , Y ) {\displaystyle \operatorname {L}_{p}(X,Y)}

Si X es un espacio de Banach, este requisito se convierte en que para cada conjunto compacto y cada , existe un operador de rango finito tal que , para cada . K ⊂ incógnita {\displaystyle K\subconjunto X} mi > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} yo : incógnita → incógnita {\displaystyle T\colon X\to X} " yo incógnita − incógnita " ≤ mi {\displaystyle \|Tx-x\|\leq \varepsilon } incógnita ∈ K {\displaystyle x\en K}

Se estudian otros sabores del AP:

Sea un espacio de Banach y sea . Decimos que X tiene la propiedad de -aproximación ( -AP ), si, para cada conjunto compacto y cada , existe un operador de rango finito tal que , para cada , y . incógnita {\estilo de visualización X} 1 ≤ la < ∞ {\displaystyle 1\leq \lambda <\infty} la {\estilo de visualización \lambda} la {\estilo de visualización \lambda} K ⊂ incógnita {\displaystyle K\subconjunto X} mi > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} yo : incógnita → incógnita {\displaystyle T\colon X\to X} " yo incógnita − incógnita " ≤ mi {\displaystyle \|Tx-x\|\leq \varepsilon } incógnita ∈ K {\displaystyle x\en K} " yo " ≤ la {\displaystyle \|T\|\leq \lambda }

Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación acotada ( PAA ), si tiene la -PA para algún . la {\estilo de visualización \lambda} la {\estilo de visualización \lambda}

Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación métrica ( MAP ), si es 1-AP.

Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación compacta ( CAP ), si en la definición de AP un operador de rango finito se reemplaza por un operador compacto.

Ejemplos

  • Todo subespacio de un producto arbitrario de espacios de Hilbert posee la propiedad de aproximación. [3] En particular,
    • Todo espacio de Hilbert tiene la propiedad de aproximación.
    • Todo límite proyectivo de los espacios de Hilbert, así como cualquier subespacio de dicho límite proyectivo, posee la propiedad de aproximación. [3]
    • Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación.
  • Todo espacio de Frechet separable que contiene una base de Schauder posee la propiedad de aproximación. [3]
  • Todo espacio con base de Schauder tiene el AP (podemos utilizar las proyecciones asociadas a la base como las de la definición), por lo que se pueden encontrar muchos espacios con el AP. Por ejemplo, los espacios , o el espacio simétrico de Tsirelson . yo {\estilo de visualización T} ℓ pag {\displaystyle \ell ^{p}}

Referencias

  1. ^ Megginson, Robert E. Introducción a la teoría del espacio de Banach, pág. 336
  2. ^ Szankowski, A.: B(H) no tiene la propiedad de aproximación. Acta Math. 147, 89-108(1981).
  3. ^ abcde Schaefer y Wolff 1999, págs. 108-115.

Bibliografía

  • Bartle, RG (1977). "MR0402468 (53 #6288) (Reseña de "Un contraejemplo del problema de aproximación en espacios de Banach" de Per Enflo, Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)". Reseñas matemáticas . MR  0402468.
  • Enflo, P. : Un contraejemplo de la propiedad de aproximación en espacios de Banach. Acta Math. 130, 309–317(1973).
  • Grothendieck, A .: Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires . Memorándum. América. Matemáticas. Soc. 16 (1955).
  • Halmos, Paul R. (1978). "Bases de Schauder". American Mathematical Monthly . 85 (4): 256–257. doi :10.2307/2321165. JSTOR  2321165. MR  0488901.
  • Paul R. Halmos , “¿Se ha ralentizado el progreso de las matemáticas?”, Amer. Math. Monthly 97 (1990), núm. 7, 561-588. MR 1066321
  • William B. Johnson "Espacios de Banach separables y complementablemente universales" en Robert G. Bartle (ed.), 1980 Estudios en análisis funcional , Mathematical Association of America.
  • Kwapień, S. "Sobre el ejemplo de Enflo de un espacio de Banach sin la propiedad de aproximación". Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyse fonctionnelle, Exp. N° 8, 9 págs. Centre de Math., École Polytech., París, 1973. MR 407569
  • Lindenstrauss, J. ; Tzafriri, L.: Espacios de Banach clásicos I, Espacios de secuencias, 1977.
  • Nedevski, P.; Trojanski, S. (1973). "P. Enflo resolvió en negativo el problema de Banach sobre la existencia de una base para cada espacio de Banach separable". Fiz.-Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk . 16 (49): 134–138. MR  0458132.
  • Pietsch, Albrecht (2007). Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. xxiv+855 pp. ISBN 978-0-8176-4367-6.Sr. 2300779  .
  • Karen Saxe , Análisis funcional inicial , Textos de pregrado en matemáticas , 2002 Springer-Verlag, Nueva York.
  • Schaefer, Helmut H. ; Wolff, MP (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 3. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 9780387987262.
  • Cantante, Iván. Bases en espacios de Banach. II . Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucarest; Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1981. viii+880 págs.  ISBN 3-540-10394-5 . Señor 610799 
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