teoría de Arakelov

En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es una aproximación a la geometría diofántica , que recibe su nombre de Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.

Fondo

La principal motivación detrás de la geometría de Arakelov es que existe una correspondencia entre ideales primos. ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ y lugares finitos $v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R}$ , pero también existe un lugar en el infinito $v_{\infty }$ , dado por la valoración arquimediana , que no tiene un ideal primo correspondiente. La geometría de Arakelov proporciona una técnica para compactificar ${\text{Especificación}}(\mathbb {Z} )$ en un espacio completo ${\overline {{\text{Especificación}}(\mathbb {Z} )}}$ que tiene un número primo situado en el infinito. La construcción original de Arakelov estudia una de esas teorías, donde se construye una definición de divisores para un esquema. ${\mathfrak {X}}$ de dimensión relativa 1 sobre ${\text{Especificación}}({\mathcal {O}}_{K})$ de tal manera que se extiende a una superficie de Riemann. $X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )$ para cada valoración en el infinito. Además, equipa estas superficies de Riemann con métricas hermíticas en haces vectoriales holomorfos sobre X ( C ), los puntos complejos de $X$ . Esta estructura hermitiana adicional se aplica como sustituto del fallo del esquema Spec( Z ) para ser una variedad completa .

Tenga en cuenta que existen otras técnicas para construir un espacio completo que se extienda ${\text{Especificación}}(\mathbb {Z} )$ , que es la base de la geometría F ₁ .

Definición original de divisores

Dejar $K$ ser un campo, ${\mathcal {O}}_{K}$ su anillo de números enteros, y $X$ un género $g$ curva sobre $K$ con un modelo no singular ${\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ , llamada superficie aritmética . Además, dejemos $\infty :K\to \mathbb {C}$ sea una inclusión de campos (que se supone que representa un lugar en el infinito). Además, sea $X_{\infty }$ sea la superficie de Riemann asociada desde el cambio base a $\mathbb {C}$ Utilizando estos datos, se puede definir un c-divisor como una combinación lineal formal. $D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }$ dónde $C_{i}$ es un subconjunto cerrado irreducible de ${\mathfrak {X}}$ de codimensión 1, $k_{i}\in \mathbb {Z}$ , y $\lambda _{\infty }\in \mathbb {R}$ y la suma $\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }$ representa la suma sobre cada incrustación real de $K\to \mathbb {R}$ y sobre una incrustación para cada par de incrustaciones complejas $K\to \mathbb {C}$ El conjunto de c-divisores forma un grupo ${\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})$ .

Resultados

Arakelov ( 1974 , 1975 ) definió una teoría de intersección en las superficies aritméticas asociadas a curvas proyectivas suaves sobre cuerpos numéricos, con el objetivo de demostrar ciertos resultados, conocidos en el caso de cuerpos de funciones, en el caso de cuerpos numéricos. Gerd Faltings ( 1984 ) extendió el trabajo de Arakelov estableciendo resultados tales como un teorema de Riemann-Roch, una fórmula de Noether , un teorema del índice de Hodge y la no negatividad de la autointersección del haz dualizante en este contexto.

La teoría de Arakelov fue utilizada por Paul Vojta (1991) para dar una nueva demostración de la conjetura de Mordell , y por Gerd Faltings ( 1991 ) en su demostración de la generalización de Serge Lang de la conjetura de Mordell.

Pierre Deligne ( 1987 ) desarrolló un marco más general para definir el emparejamiento de intersección definido en una superficie aritmética sobre el espectro de un anillo de enteros por Arakelov. Shou-Wu Zhang ( 1992 ) desarrolló una teoría de haces de líneas positivos y demostró un teorema de tipo Nakai-Moishezon para superficies aritméticas. Desarrollos posteriores en la teoría de haces de líneas positivos por Zhang ( 1993 , 1995a , 1995b ) y Lucien Szpiro , Emmanuel Ullmo y Zhang ( 1997 ) culminaron en una demostración de la conjetura de ^Bogomolov por Ullmo ( 1998 ) y Zhang ( 1998 ) . ^[¹ ]

La teoría de Arakelov fue generalizada por Henri Gillet y Christophe Soulé a dimensiones superiores. Es decir, Gillet y Soulé definieron un emparejamiento de intersección en una variedad aritmética. Uno de los principales resultados de Gillet y Soulé es el teorema de Riemann-Roch aritmético de Gillet y Soulé (1992) , una extensión del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a variedades aritméticas. Para ello, se definen grupos de Chow aritméticos CH ^p ( X ) de una variedad aritmética X , y se definen clases de Chern para haces vectoriales hermíticos sobre X que toman valores en los grupos de Chow aritméticos. El teorema de Riemann-Roch aritmético describe entonces cómo se comporta la clase de Chern bajo la aplicación directa de haces vectoriales bajo una aplicación propia de variedades aritméticas. Una demostración completa de este teorema fue publicada recientemente por Gillet, Rössler y Soulé.

La teoría de intersección de Arakelov para superficies aritméticas fue desarrollada posteriormente por Jean-Benoît Bost ( 1999 ) . La teoría de Bost se basa en el uso de funciones de Green que, salvo singularidades logarítmicas, pertenecen al espacio de Sobolev. $L_{1}^{2}$ En este contexto, Bost obtiene un teorema del índice de Hodge aritmético y lo utiliza para obtener teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas.

Grupos de comida aritmética

Un ciclo aritmético de codimensión p es un par ( Z , g ) donde Z ∈ Z ^p ( X ) es un p -ciclo en X y g es una corriente de Green para Z , una generalización de dimensión superior de una función de Green. El grupo de Chow aritmético ${\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)$ de codimensión p es el cociente de este grupo por el subgrupo generado por ciertos ciclos "triviales". ^{[ 2 ]}

El teorema aritmético de Riemann-Roch

El teorema usual de Grothendieck-Riemann-Roch describe cómo se comporta el carácter de Chern ch bajo el empuje hacia adelante de haces, y establece que ch( f _* ( E ))= f _* (ch(E)Td _{X / Y} ), donde f es un morfismo propio de X a Y y E es un fibrado vectorial sobre f . El teorema aritmético de Riemann-Roch es similar, excepto que la clase de Todd se multiplica por una cierta serie de potencias . El teorema aritmético de Riemann-Roch establece ${\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))$ dónde

X e Y son esquemas aritméticos proyectivos regulares.
f es una aplicación propia y suave de X a Y.
E es un fibrado vectorial aritmético sobre X.
${\hat {\mathrm {ch} }}$ es el carácter aritmético de Chern.
T _X/Y es el fibrado tangente relativo
${\hat {\mathrm {Td} }}$ es la clase aritmética de Todd
${\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)$ es ${\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))$
R ( X ) es la clase característica aditiva asociada a la serie de potencias formal. $\sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].$

Véase también

Notas

↑ Leong, YK (julio-diciembre de 2018). "Shou-Wu Zhang: Teoría de números y geometría algebraica aritmética" (PDF) . Imprints . N.° 32. Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. págs. 32-36 . Consultado el 5 de mayo de 2019 .
↑ Manin y Panchishkin (2008) págs. 400–401

Referencias

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Enlaces externos

Documento original
Archivo de preimpresión de geometría de Arakelov

[1] Leong, YK (julio-diciembre de 2018). "Shou-Wu Zhang: Teoría de números y geometría algebraica aritmética" (PDF) . Imprints . N.° 32. Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. págs. 32-36 . Consultado el 5 de mayo de 2019 .

[2] Manin y Panchishkin (2008) págs. 400–401

Bogomolov

[ 2 ]