Funciones trigonométricas inversas

En matemáticas , las funciones trigonométricas inversas (ocasionalmente también llamadas antitrigonométricas , ^{[ 1 ]} ciclométricas , ^{[ 2 ]} o funciones arcus ^{[ 3 ]} ) son las funciones inversas de las funciones trigonométricas , bajo dominios adecuadamente restringidos . Específicamente, son las inversas de las funciones seno , coseno , tangente , cotangente , secante y cosecante , ^{[ 4 ]} y se utilizan para obtener un ángulo a partir de cualquiera de sus razones trigonométricas. Las funciones trigonométricas inversas se utilizan ampliamente en ingeniería , navegación , física y geometría .

Notación

Existen varias notaciones para las funciones trigonométricas inversas. La más común utiliza el prefijo $arc-$ : $arcsin(x)$ , $arccos(x)$ , $arctan(x)$ , etc. ^{[ 1 ]} (Esta convención se utiliza a lo largo de este artículo). Esta notación surge de las siguientes relaciones geométricas: al medir en radianes, un ángulo de $θ$ radianes corresponderá a un arco cuya longitud es $rθ$ , donde $r$ es el radio del círculo. Así, en el círculo unitario , la función coseno de x es tanto el arco como el ángulo, porque el arco de un círculo de radio 1 es igual al ángulo. O bien, "el arco cuyo coseno es $x$ " es igual a "el ángulo cuyo coseno es $x$ ", porque la longitud del arco del círculo en radios es igual a la medida del ángulo en radianes. ^[⁵^] En los lenguajes de programación informática, las funciones trigonométricas inversas se denominan a menudo con las formas abreviadas asin , acos , atan . ^[⁶^]

Otra notación común en fuentes inglesas utiliza un superíndice $f - 1$ : $sin - 1 (x)$ , $cos - 1 (x)$ , $tan - 1 (x)$ , etc., como introdujo John Herschel en 1813. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 1 ]} Esto entra en conflicto con la sintaxis común $sin 2 (x)$ , que denota exponenciación en lugar de composición de funciones y, por lo tanto, puede generar confusión entre la notación para la función recíproca ( inversa multiplicativa ) y la función inversa . ^{[ 9 ]} La convención de la función inversa que utiliza un superíndice entre corchetes es inequívoca pero no se usa comúnmente: $sin [- 1] (x)$ , $cos [- 1] (x)$ , $tan [- 1] (x)$ .

La ambigüedad se mitiga mediante el uso de nombres especiales para las funciones trigonométricas recíprocas; por ejemplo, $(cos(x)) - 1 = sec(x)$ . Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso, ya que resulta ambiguo. ^{[ 1 ]}^{[ 10 ]} Otra convención problemática utilizada por un pequeño número de autores es una primera letra mayúscula , junto con un superíndice “ $- 1$ ”: $Sin - 1 (x)$ , $Cos - 1 (x)$ , $Tan - 1 (x)$ , etc. ^{[ 11 ]} Aunque se pretende evitar la confusión con el recíproco , que debería representarse por $sin - 1 (x)$ , $cos - 1 (x)$ , etc., o, mejor aún, por $sin - 1 x$ , $cos - 1 x$ , etc., a su vez crea otra fuente importante de ambigüedad, especialmente porque muchos lenguajes de programación de alto nivel populares (por ejemplo, Mathematica y MAGMA ) utilizan nombres en mayúsculas para las funciones trigonométricas estándar.

Desde 2019, la norma ISO 80000-2 especifica únicamente el prefijo "arc" para las funciones inversas.

Conceptos básicos

Los puntos etiquetados como 1 , Sec( θ ) y Csc( θ ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin( θ ) , Tan( θ ) y 1 son las alturas de la línea que parte del eje $x$ , mientras que Cos( θ ) , 1 y Cot( θ ) son longitudes a lo largo del eje $x$ que parten del origen.

Valores principales

Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas es biyectiva , deben restringirse para poder tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de las funciones inversas son subconjuntos propios (es decir, estrictos) de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, utilizando la función en el sentido de funciones multivaluadas , al igual que la función raíz cuadrada. $y={\sqrt {x}}$ podría definirse a partir de $y^{2}=x,$ la función $y=\arcsin(x)$ se define de manera que $\sin(y)=x.$ Para un número real dado $x,$ con $-1\leq x\leq 1,$ hay múltiples (de hecho, infinitos numerables ) números $y$ de tal manera que $\sin(y)=x$ ; Por ejemplo, $\sin(0)=0,$ pero también $\sin(\pi )=0,$ $\sin(2\pi )=0,$ etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada $x$ en el dominio, la expresión $\arcsin(x)$ evaluará a un único valor, llamado su valor principal . Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.

Los principales inversos se enumeran en la siguiente tabla.

Note: Some authors define the range of arcsecant to be ( ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$ or ${\textstyle \pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}}$ ),^[12] because the tangent function is nonnegative on this domain. This makes some computations more consistent. For example, using this range, $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},$ whereas with the range ( ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$ or ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$ ), we would have to write $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},$ since tangent is nonnegative on ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ but nonpositive on ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ For a similar reason, the same authors define the range of arccosecant to be ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ or ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Domains

If $x$ is allowed to be a complex number, then the range of $y$ applies only to its real part.

The table below displays names and domains of the inverse trigonometric functions along with the range of their usual principal values in radians.

The symbol $\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$ denotes the set of all real numbers and $\mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}$ denotes the set of all integers. The set of all integer multiples of $\pi$ is denoted by

$\pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.$

The symbol $\,\setminus \,$ denotes set subtraction so that, for instance, $\mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$ is the set of points in $\mathbb {R}$ (that is, real numbers) that are not in the interval $(-1,1).$

The Minkowski sum notation ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ and $\pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}$ that is used above to concisely write the domains of $\cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec$ is now explained.

Domain of cotangent $\cot$ and cosecant $\csc$ : The domains of $\,\cot \,$ and $\,\csc \,$ are the same. They are the set of all angles $\theta$ at which $\sin \theta \neq 0,$ i.e. all real numbers that are not of the form $\pi n$ for some integer $n,$

${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Domain of tangent $\tan$ and secant $\sec$ : The domains of $\,\tan \,$ and $\,\sec \,$ are the same. They are the set of all angles $\theta$ at which $\cos \theta \neq 0,$

${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}$

Solutions to elementary trigonometric equations

Each of the trigonometric functions is periodic in the real part of its argument, running through all its values twice in each interval of ${\displaystyle 2\pi$

Sine and cosecant begin their period at ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ (where $k$ is an integer), finish it at ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ and then reverse themselves over ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ to ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
Cosine and secant begin their period at $2\pi k,$ finish it at $2\pi k+\pi .$ and then reverse themselves over $2\pi k+\pi$ to $2\pi k+2\pi .$
Tangent begins its period at ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ finishes it at ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ and then repeats it (forward) over ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ to ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
Cotangent begins its period at $2\pi k,$ finishes it at $2\pi k+\pi ,$ and then repeats it (forward) over $2\pi k+\pi$ to $2\pi k+2\pi .$

This periodicity is reflected in the general inverses, where $k$ is some integer.

The following table shows how inverse trigonometric functions may be used to solve equalities involving the six standard trigonometric functions. It is assumed that the given values $\theta ,$ $r,$ $s,$ $x,$ and $y$ all lie within appropriate ranges so that the relevant expressions below are well-defined. Note that "for some $k\in \mathbb {Z}$ " is just another way of saying "for some integer $k.$ "

The symbol $\,\iff \,$ is logical equality and indicates that if the left hand side is true then so is the right hand side and, conversely, if the right hand side is true then so is the left hand side (see this footnote^{[note 1]} for more details and an example illustrating this concept).

where the first four solutions can be written in expanded form as:

For example, if $\cos \theta =-1$ then $\theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)$ for some $k\in \mathbb {Z} .$ While if $\sin \theta =\pm 1$ then ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ for some $k\in \mathbb {Z} ,$ where $k$ will be even if $\sin \theta =1$ and it will be odd if $\sin \theta =-1.$ The equations $\sec \theta =-1$ and $\csc \theta =\pm 1$ have the same solutions as $\cos \theta =-1$ and $\sin \theta =\pm 1,$ respectively. In all equations above except for those just solved (i.e. except for $\sin$ / $\csc \theta =\pm 1$ and $\cos$ / $\sec \theta =-1$ ), the integer $k$ in the solution's formula is uniquely determined by $\theta$ (for fixed $r,s,x,$ and $y$ ).

With the help of integer parity $\operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}$ it is possible to write a solution to $\cos \theta =x$ that doesn't involve the "plus or minus" $\,\pm \,$ symbol:

cos\;\theta =x\quad

if and only if

\quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad

for some

h\in \mathbb {Z} .

And similarly for the secant function,

sec\;\theta =r\quad

if and only if

\quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad

for some

h\in \mathbb {Z} ,

where $\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)$ equals $\pi h$ when the integer $h$ is even, and equals $\pi h+\pi$ when it's odd.

Detailed example and explanation of the "plus or minus" symbol $\pm$

The solutions to $\cos \theta =x$ and $\sec \theta =x$ involve the "plus or minus" symbol $\,\pm ,\,$ whose meaning is now clarified. Only the solution to $\cos \theta =x$ will be discussed since the discussion for $\sec \theta =x$ is the same. We are given $x$ between $-1\leq x\leq 1$ and we know that there is an angle $\theta$ in some interval that satisfies $\cos \theta =x.$ We want to find this $\theta .$ The table above indicates that the solution is $\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ which is a shorthand way of saying that (at least) one of the following statement is true:

$\,\theta =\arccos x+2\pi k\,$ for some integer $k,$ or
$\,\theta =-\arccos x+2\pi k\,$ for some integer $k.$

As mentioned above, if $\,\arccos x=\pi \,$ (which by definition only happens when $x=\cos \pi =-1$ ) then both statements (1) and (2) hold, although with different values for the integer $k$ : if $K$ is the integer from statement (1), meaning that $\theta =\pi +2\pi K$ holds, then the integer $k$ for statement (2) is $K+1$ (because $\theta =-\pi +2\pi (1+K)$ ). However, if $x\neq -1$ then the integer $k$ is unique and completely determined by $\theta .$ If $\,\arccos x=0\,$ (which by definition only happens when $x=\cos 0=1$ ) then $\,\pm \arccos x=0\,$ (because $\,+\arccos x=+0=0\,$ and $\,-\arccos x=-0=0\,$ so in both cases $\,\pm \arccos x\,$ is equal to $0$ ) and so the statements (1) and (2) happen to be identical in this particular case (and so both hold). Having considered the cases $\,\arccos x=0\,$ and $\,\arccos x=\pi ,\,$ we now focus on the case where $\,\arccos x\neq 0\,$ and $\,\arccos x\neq \pi ,\,$ So assume this from now on. The solution to $\cos \theta =x$ is still $\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ para algún }}k\in \mathbb {Z}$ which as before is shorthand for saying that one of statements (1) and (2) is true. However this time, because $\,\arccos x\neq 0\,$ and $\,0<\arccos x<\pi ,\,$ statements (1) and (2) are different and furthermore, exactly one of the two equalities holds (not both). Additional information about $\theta$ is needed to determine which one holds. For example, suppose that $x=0$ and that all that is known about $\theta$ is that $\,-\pi \leq \theta \leq \pi \,$ (and nothing more is known). Then $\arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}$ and moreover, in this particular case $k=0$ (for both the $\,+\,$ case and the $\,-\,$ case) and so consequently, $\theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.$ This means that $\theta$ could be either $\,\pi /2\,$ or $\,-\pi /2.$ Without additional information it is not possible to determine which of these values $\theta$ has. An example of some additional information that could determine the value of $\theta$ would be knowing that the angle is above the $x$ -axis (in which case $\theta =\pi /2$ ) or alternatively, knowing that it is below the $x$ -axis (in which case $\theta =-\pi /2$ ).

Equal identical trigonometric functions

The table below shows how two angles $\theta$ and $\varphi$ must be related if their values under a given trigonometric function are equal or negatives of each other.

Set of all solutions to elementary trigonometric equations

Thus given a single solution $\theta$ to an elementary trigonometric equation ( $\sin \theta =y$ is such an equation, for instance, and because $\sin(\arcsin y)=y$ always holds, ${\displaystyle \theta$ is always a solution), the set of all solutions to it are:

Transforming equations

The equations above can be transformed by using the reflection and shift identities:^[13]

These formulas imply, in particular, that the following hold:

${\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}$

where swapping $\sin \leftrightarrow \csc ,$ swapping $\cos \leftrightarrow \sec ,$ and swapping $\tan \leftrightarrow \cot$ gives the analogous equations for $\csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,$ respectively.

So for example, by using the equality ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ the equation $\cos \theta =x$ can be transformed into ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ which allows for the solution to the equation $\;\sin \varphi =x\;$ (where ${\textstyle \varphi$ ) to be used; that solution being: $\varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,$ which becomes: ${\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ where using the fact that $(-1)^{k}=(-1)^{-k}$ and substituting $h:=-k$ proves that another solution to $\;\cos \theta =x\;$ is: $\theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .$ The substitution $\;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;$ may be used express the right hand side of the above formula in terms of $\;\arccos x\;$ instead of $\;\arcsin x.\;$

Relationships between trigonometric functions and inverse trigonometric functions

Trigonometric functions of inverse trigonometric functions are tabulated below. They may be derived from the Pythagorean identities. Another way is by considering the geometry of a right-angled triangle, with one side of length 1 and another side of length $x,$ Luego se aplica el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas. Cabe destacar que para la arcosecante y la arcocosecante, el diagrama supone que $x$ es positivo, y por lo tanto el resultado debe corregirse mediante el uso de valores absolutos y la operación signo (sgn).

Relaciones entre las funciones trigonométricas inversas

Ángulos complementarios:

{\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}

Argumentos negativos:

{\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}

Argumentos recíprocos:

{\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}

Las identidades anteriores se pueden usar con (y derivar del) hecho de que $\sin$ y $\csc$ son recíprocos (es decir, $\csc ={\tfrac {1}{\sin }}$ ), como son $\cos$ y $\sec ,$ y $\tan$ y $\cot .$

Identidades útiles si solo se dispone de un fragmento de una tabla de senos:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}

Siempre que se utilice la raíz cuadrada de un número complejo en este contexto, elegimos la raíz con la parte real positiva (o la parte imaginaria positiva si el cuadrado fuera real negativo).

Un formulario útil que se deriva directamente de la tabla anterior es

\arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0

.

Se obtiene al reconocer que $\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)$ .

De la fórmula del semiángulo , $\tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}$ , obtenemos:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}

Fórmula de adición de arcotangente

\arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.

Esto se deriva de la fórmula de suma de tangentes.

\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,

al dejar

\alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.

En cálculo

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Las derivadas para valores complejos de z son las siguientes:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}

Solo para valores reales de x :

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}

Estas fórmulas se pueden derivar en términos de las derivadas de funciones trigonométricas. Por ejemplo, si $x=\sin \theta$ , entonces ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$ entonces

{\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

Expresión como integrales definidas

Integrando la derivada y fijando el valor en un punto se obtiene una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida :

{\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}

Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son integrales impropias , pero aún así están bien definidas.

Serie infinita

De forma similar a las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden calcular utilizando series de potencias , como sigue. Para el arcoseno, la serie se puede derivar expandiendo su derivada, ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ como una serie binomial , e integrando término a término (usando la definición de integral como se indicó anteriormente). La serie para la arcotangente se puede obtener de manera similar expandiendo su derivada. ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ in a geometric series, and applying the integral definition above (see Leibniz series).

${\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$ The Taylor series for arctangent is also known as the arctangent series or Gregory's series. $\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i$

Series for the other inverse trigonometric functions can be given in terms of these according to the relationships given above. For example, $\arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)$ , $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$ , and so on. Another series is given by:^[14]

$2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Leonhard Euler found a series for the arctangent that converges more quickly than its Taylor series:

$\arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$ ^[15] (The term in the sum for n = 0 is the empty product, so is 1.)

Alternatively, this can be expressed as

$\arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.$

Another series for the arctangent function is given by

$\arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),$

where $i={\sqrt {-1}}$ is the imaginary unit.^[16]

Continued fractions for arctangent

Two alternatives to the power series for arctangent are these generalized continued fractions:

$\arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

The second of these is valid in the cut complex plane. There are two cuts, from −i to the point at infinity, going down the imaginary axis, and from i to the point at infinity, going up the same axis. It works best for real numbers running from −1 to 1. The partial denominators are the odd natural numbers, and the partial numerators (after the first) are just (nz)², with each perfect square appearing once. The first was developed by Leonhard Euler, the second by Carl Friedrich Gauss utilizing the Gaussian hypergeometric series.

Indefinite integrals of inverse trigonometric functions

For real and complex values of z:

{\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}

For real x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}

For all real x not between -1 and 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}

The absolute value is necessary to compensate for both negative and positive values of the arcsecant and arccosecant functions. The signum function is also necessary due to the absolute values in the derivatives of the two functions, which create two different solutions for positive and negative values of x. These can be further simplified using the logarithmic definitions of the inverse hyperbolic functions:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}

The absolute value in the argument of the arcosh function creates a negative half of its graph, making it identical to the signum logarithmic function shown above.

Todas estas antiderivadas se pueden obtener utilizando la integración por partes y las formas de derivadas simples que se muestran arriba.

Ejemplo

Usando $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (es decir, integración por partes ), conjunto

{\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}

Entonces

\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,

que mediante la simple sustitución $w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx$ da como resultado final:

\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

Extensión al plano complejo

Dado que las funciones trigonométricas inversas son funciones analíticas , pueden extenderse desde la recta real hasta el plano complejo. Esto da como resultado funciones con múltiples hojas y puntos de ramificación . Una posible forma de definir la extensión es:

\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i

donde la parte del eje imaginario que no se encuentra estrictamente entre los puntos de ramificación (−i y +i) es el corte de rama entre la hoja principal y las demás hojas. La trayectoria de la integral no debe cruzar un corte de rama. Si z no se encuentra en un corte de rama, una línea recta desde 0 hasta z es tal trayectoria. Si z se encuentra en un corte de rama, la trayectoria debe aproximarse desde Re[x] > 0 para el corte de rama superior y desde Re[x] < 0 para el corte de rama inferior.

La función arcoseno se puede definir entonces como:

\arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1

donde (la función raíz cuadrada tiene su corte a lo largo del eje real negativo y) la parte del eje real que no se encuentra estrictamente entre − 1 y +1 es el corte de rama entre la hoja principal de arcoseno y otras hojas;

\arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1

que tiene el mismo corte que el arcoseno;

\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i

que tiene el mismo corte que arctan;

\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1

donde la parte del eje real entre − 1 y +1 inclusive es el corte entre la hoja principal de arcsec y las otras hojas;

\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1

que tiene el mismo corte que arcsec.

Formas logarítmicas

Estas funciones también pueden expresarse mediante logaritmos complejos . Esto extiende sus dominios al plano complejo de forma natural. Las siguientes identidades para los valores principales de las funciones se cumplen en todos los puntos donde están definidas, incluso en sus puntos de corte.

{\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(z+i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)=i\ln \left(z-i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)=i\ln \left({\frac {1}{z}}-i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}

Generalización

Dado que todas las funciones trigonométricas inversas producen un ángulo de un triángulo rectángulo, se pueden generalizar utilizando la fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo en el plano complejo. Algebraicamente, esto nos da:

ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )

o

ce^{i\theta }=a+ib

dónde $a$ es el lado adyacente, $b$ es el lado opuesto, y $c$ es la hipotenusa . A partir de aquí, podemos resolver para $\theta$ .

{\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}

o

\theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)

Simplemente tomar la parte imaginaria funciona para cualquier valor real. $a$ y $b$ , pero si $a$ o $b$ es de valor complejo, tenemos que usar la ecuación final para que la parte real del resultado no se excluya. Dado que la longitud de la hipotenusa no cambia el ángulo, ignorando la parte real de $\ln(a+bi)$ también elimina $c$ de la ecuación. En la ecuación final, vemos que el ángulo del triángulo en el plano complejo se puede encontrar ingresando las longitudes de cada lado. Al establecer uno de los tres lados igual a 1 y uno de los lados restantes igual a nuestra entrada. $z$ Obtenemos una fórmula para una de las funciones trigonométricas inversas, para un total de seis ecuaciones. Dado que las funciones trigonométricas inversas requieren solo una entrada, debemos expresar el último lado del triángulo en términos de los otros dos utilizando el teorema de Pitágoras.

a^{2}+b^{2}=c^{2}

La tabla siguiente muestra los valores de a, b y c para cada una de las funciones trigonométricas inversas y las expresiones equivalentes para $\theta$ que resultan de sustituir los valores en las ecuaciones $\theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)$ arriba y simplificando.

{\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}

La forma particular de la expresión simplificada puede hacer que la salida difiera de la rama principal usual de cada una de las funciones trigonométricas inversas. Las formulaciones dadas producirán la rama principal usual cuando se utilice la $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]$ y $\operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ rama principal para cada función excepto arcotangente en la $\theta$ columna. Arcotangente en la $\theta$ La columna generará la salida en su rama principal habitual utilizando el $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )$ y $\operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ convención.

En este sentido, todas las funciones trigonométricas inversas pueden considerarse casos específicos de la función logaritmo de valor complejo. Dado que estas definiciones funcionan para cualquier valor complejo $z$ Las definiciones permiten ángulos hiperbólicos como resultados y pueden utilizarse para definir con mayor precisión las funciones hiperbólicas inversas . Es posible demostrar algebraicamente estas relaciones partiendo de las formas exponenciales de las funciones trigonométricas y despejando la función inversa.

Ejemplo de prueba

{\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}

Utilizando la definición exponencial del seno y dejando $\xi =e^{i\phi },$

{\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}

(Se elige la rama positiva)

\phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)

Aplicaciones

Cómo hallar el ángulo de un triángulo rectángulo

{\displaystyle A} — Un triángulo rectángulo con lados relativos a un ángulo en el $A$ punto.

Las funciones trigonométricas inversas son útiles para determinar los dos ángulos restantes de un triángulo rectángulo cuando se conocen las longitudes de sus lados. Recordando las definiciones de seno y coseno para triángulos rectángulos, se deduce que

\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).

A menudo, la hipotenusa es desconocida y sería necesario calcularla antes de usar el arcoseno o el arcocoseno utilizando el teorema de Pitágoras : $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ dónde $h$ es la longitud de la hipotenusa. La arcotangente resulta útil en esta situación, ya que no se necesita la longitud de la hipotenusa.

\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.

Por ejemplo, supongamos que un techo desciende 8 metros a medida que se extiende 20 metros. El techo forma un ángulo θ con la horizontal, donde θ se puede calcular de la siguiente manera:

\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.

En ciencias de la computación e ingeniería

Variante de dos argumentos de la arcotangente

$La función atan2$ de dos argumentos calcula la arcotangente de $y / x$ dados $y$ y $x$ , pero con un rango de $(-π, π]$ . En otras palabras, $atan2(y, x)$ es el ángulo entre el eje $x positivo de un plano y el punto$ $(x, y)$ en él, con signo positivo para ángulos en sentido antihorario ( semiplano superior , $y > 0$ ) y signo negativo para ángulos en sentido horario (semiplano inferior, $y < 0$ ). Se introdujo por primera vez en muchos lenguajes de programación, pero ahora también es común en otros campos de la ciencia y la ingeniería.

En términos de la función arcotangente estándar , es decir, con un rango de $(-π/2, π/2)$ , se puede expresar de la siguiente manera:

$\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}$

También es igual al valor principal del argumento del número complejo $x + iy$ .

Esta versión limitada de la función anterior también puede definirse utilizando las fórmulas del semiángulo tangente de la siguiente manera: $\operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)$ siempre que $x > 0$ o $y \neq 0.$ Sin embargo, esto falla si se da $x \leq 0$ e $y = 0$ , por lo que la expresión no es adecuada para uso computacional.

El orden de argumentos anterior ( $y$ , $x$ ) parece ser el más común, y en particular se utiliza en estándares ISO como el lenguaje de programación C , pero algunos autores pueden utilizar la convención opuesta ( $x$ , $y$ ), por lo que se justifica cierta precaución.

Función arcotangente con parámetro de ubicación

En muchas aplicaciones ^{[ 17 ]} la solución $y$ de la ecuación $x=\tan(y)$ es acercarse lo más posible a un valor dado $-\infty <\eta <\infty$ La solución adecuada se obtiene mediante la función arcotangente modificada paramétricamente.

y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.

La función $\operatorname {rni}$ redondea al entero más cercano.

Precisión numérica

Para ángulos cercanos a 0 y $π$ , el arcocoseno está mal condicionado , y lo mismo ocurre con el arcoseno para ángulos cercanos $a -π$ / 2 y $π$ /2. Por lo tanto, las aplicaciones informáticas deben considerar la estabilidad de las entradas a estas funciones y la sensibilidad de sus cálculos, o bien utilizar métodos alternativos. ^[¹⁸^]

Véase también

Notas

↑ La expresión "LHS" $\,\iff \,$ "RHS" indica que (a) tanto el lado izquierdo (es decir, LHS) como el lado derecho (es decir, RHS) son verdaderos , o bien (b) tanto el lado izquierdo como el lado derecho son falsos; no existe la opción (c) (por ejemplo, no es posible que la afirmación LHS sea verdadera y simultáneamente falsa), porque de lo contrario "LHS $\,\iff \,$ "RHS" no se habría escrito. Para aclarar, supongamos que se escribe "LHS". $\,\iff \,$ RHS" donde LHS (que abrevia lado izquierdo ) y RHS son afirmaciones que individualmente pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, si $\theta$ y $s$ son algunos números dados y fijos y si se escribe lo siguiente: $\tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ entonces LHS es la declaración " $\tan \theta =s$ ". Dependiendo de qué valores específicos $\theta$ y $s$ Esta afirmación del lado izquierdo puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, el lado izquierdo es verdadero si $\theta =0$ y $s=0$ (porque en este caso $\tan \theta =\tan 0=s$ ) pero LHS es falso si $\theta =0$ y $s=2$ (porque en este caso $\tan \theta =\tan 0=s$ lo cual no es igual a $s=2$ ); más generalmente, LHS es falso si $\theta =0$ y $s\neq 0.$ De manera similar, RHS es la afirmación " $\theta =\arctan(s)+\pi k$ para algunos $k\in \mathbb {Z}$ ". La afirmación del lado derecho también puede ser verdadera o falsa (como antes, si la afirmación del lado derecho es verdadera o falsa depende de qué valores específicos $\theta$ y $s$ tener). El símbolo de igualdad lógica $\,\iff \,$ significa que (a) si la afirmación del lado izquierdo es verdadera, entonces la afirmación del lado derecho también es necesariamente verdadera, y además (b) si la afirmación del lado izquierdo es falsa, entonces la afirmación del lado derecho también es necesariamente falsa. De manera similar, $\,\iff \,$ también significa que (c) si la afirmación del lado derecho es verdadera, entonces la afirmación del lado izquierdo también es necesariamente verdadera, y además (d) si la afirmación del lado derecho es falsa, entonces la afirmación del lado izquierdo también es necesariamente falsa.

Referencias

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Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Tangente inversa" . MundoMatemático .

[13] La expresión "LHS" $\,\iff \,$ "RHS" indica que (a) tanto el lado izquierdo (es decir, LHS) como el lado derecho (es decir, RHS) son verdaderos , o bien (b) tanto el lado izquierdo como el lado derecho son falsos; no existe la opción (c) (por ejemplo, no es posible que la afirmación LHS sea verdadera y simultáneamente falsa), porque de lo contrario "LHS $\,\iff \,$ "RHS" no se habría escrito. Para aclarar, supongamos que se escribe "LHS". $\,\iff \,$ RHS" donde LHS (que abrevia lado izquierdo ) y RHS son afirmaciones que individualmente pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, si $\theta$ y $s$ son algunos números dados y fijos y si se escribe lo siguiente: $\tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$ entonces LHS es la declaración " $\tan \theta =s$ ". Dependiendo de qué valores específicos $\theta$ y $s$ Esta afirmación del lado izquierdo puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, el lado izquierdo es verdadero si $\theta =0$ y $s=0$ (porque en este caso $\tan \theta =\tan 0=s$ ) pero LHS es falso si $\theta =0$ y $s=2$ (porque en este caso $\tan \theta =\tan 0=s$ lo cual no es igual a $s=2$ ); más generalmente, LHS es falso si $\theta =0$ y $s\neq 0.$ De manera similar, RHS es la afirmación " $\theta =\arctan(s)+\pi k$ para algunos $k\in \mathbb {Z}$ ". La afirmación del lado derecho también puede ser verdadera o falsa (como antes, si la afirmación del lado derecho es verdadera o falsa depende de qué valores específicos $\theta$ y $s$ tener). El símbolo de igualdad lógica $\,\iff \,$ significa que (a) si la afirmación del lado izquierdo es verdadera, entonces la afirmación del lado derecho también es necesariamente verdadera, y además (b) si la afirmación del lado izquierdo es falsa, entonces la afirmación del lado derecho también es necesariamente falsa. De manera similar, $\,\iff \,$ también significa que (c) si la afirmación del lado derecho es verdadera, entonces la afirmación del lado izquierdo también es necesariamente verdadera, y además (d) si la afirmación del lado derecho es falsa, entonces la afirmación del lado izquierdo también es necesariamente falsa.

[Hall_1909-1] 1 2 3 4 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (enero de 1909). "Capítulo II. El ángulo agudo [ 14 ] Funciones trigonométricas inversas" . Escrito en Ann Arbor, Michigan, EE. UU. Trigonometría . Vol. Parte I: Trigonometría plana. Nueva York, EE. UU.: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, EE. UU. pág. 15. Recuperado el 12 de agosto de 2017. […] α = arcsin m : Se lee frecuentemente " arco-seno m " o " anti-seno m ", ya que se dice que dos funciones mutuamente inversas son cada una la antifunción de la otra. […] Una relación simbólica similar se cumple para las demás funciones trigonométricas . […] Esta notación se usa universalmente en Europa y está ganando terreno rápidamente en este país. Un símbolo menos deseable, α = sin⁻¹ ^m, todavía se encuentra en textos ingleses y estadounidenses. La notación α = inv sin m es quizás aún mejor debido a su aplicabilidad general. […]

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[18] uando se produce un cruce de ángulo variable en el tiempo $\pm \pi /2$ Debe representarse mediante una línea suave en lugar de una línea dentada (robótica, astronomía, movimiento angular en general).

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