propiedad arquimediana

Los campos ordenados tienen algunas propiedades adicionales:

• Los números racionales están presentes en cualquier cuerpo ordenado. Es decir, cualquier cuerpo ordenado tiene característica cero.
• Si${\displaystyle x}$es infinitesimal, entonces${\displaystyle 1/x}$es infinito, y viceversa. Por lo tanto, para verificar que un cuerpo es arquimediano basta con comprobar que no existen elementos infinitesimales, o bien comprobar que no existen elementos infinitos.
• Si${\displaystyle x}$es infinitesimal y${\displaystyle r}$es un número racional, entonces${\displaystyle rx}$también es infinitesimal. Como resultado, dado un elemento general${\displaystyle c}$, los tres números${\displaystyle c/2}$,${\displaystyle c}$, y${\displaystyle 2c}$son todos infinitesimales o todos no infinitesimales.

En este contexto, un cuerpo ordenado K es arquimediano precisamente cuando se cumple la siguiente afirmación, llamada axioma de Arquímedes :

Dejar${\displaystyle x}$ser cualquier elemento de${\displaystyle K}$Entonces existe un número natural${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle n>x}$.

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente caracterización: $${\displaystyle \forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.}$$

El campo de los números racionales admite varias funciones de valor absoluto, incluida la función trivial.${\displaystyle |x|=1}$, cuando${\displaystyle x\neq 0}$, el más habitual${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$y el${\displaystyle p}$Funciones de valor absoluto -ádicas . Por el teorema de Ostrowski , todo valor absoluto no trivial en los números racionales es equivalente al valor absoluto usual o a alguna${\displaystyle p}$Valor absoluto p-ádico. El cuerpo racional no es completo con respecto a valores absolutos no triviales; con respecto al valor absoluto trivial, el cuerpo racional es un espacio topológico discreto, por lo tanto completo. La completitud con respecto al valor absoluto usual (del orden) es el cuerpo de los números reales. Por esta construcción, el cuerpo de los números reales es arquimediano tanto como cuerpo ordenado como cuerpo normado. ^{[ 5 ]} Por otro lado, las completitudes con respecto a los otros valores absolutos no triviales dan los cuerpos de los números p-ádicos , donde${\displaystyle p}$es un número entero primo (ver más abajo); dado que el${\displaystyle p}$Los valores absolutos -ádicos satisfacen la propiedad ultramétrica , entonces el${\displaystyle p}$Los campos numéricos -ádicos no son arquimedianos como campos normados (no se pueden convertir en campos ordenados).

En la teoría axiomática de los números reales , la no existencia de números reales infinitesimales distintos de cero se deduce de la propiedad del límite superior mínimo de la siguiente manera: Denotemos por${\displaystyle Z}$el conjunto formado por todos los infinitesimales positivos. Este conjunto está acotado superiormente por${\displaystyle 1}$. Ahora supongamos por contradicción que${\displaystyle Z}$es no vacío. Entonces tiene un límite superior mínimo.${\displaystyle c}$, lo cual también es positivo, así que${\displaystyle c/2<c<2c}$Dado que c es un límite superior de${\displaystyle Z}$y${\displaystyle 2c}$es estrictamente más grande que${\displaystyle c}$,${\displaystyle 2c}$no es un infinitesimal positivo. Es decir, hay algún número natural${\displaystyle n}$para qué${\displaystyle 1/n<2c}$. Por otro lado,${\displaystyle c/2}$es un infinitesimal positivo, ya que por la definición de cota superior mínima debe haber un infinitesimal${\displaystyle x}$entre${\displaystyle c/2}$y${\displaystyle c}$y si${\displaystyle 1/k<c/2\leq x}$entonces${\displaystyle x}$no es infinitesimal. Pero${\displaystyle 1/(4n)<c/2}$, entonces${\displaystyle c/2}$no es infinitesimal, y esto es una contradicción. Esto significa que${\displaystyle Z}$Después de todo, está vacío: no existen números reales infinitesimales positivos.

La propiedad arquimediana de los números reales también se cumple en el análisis constructivo , aunque la propiedad del límite superior mínimo pueda fallar en ese contexto.

Como ejemplo de un cuerpo ordenado que no es arquimediano, consideremos el cuerpo de las funciones racionales con coeficientes reales. (Una función racional es cualquier función que puede expresarse como un polinomio dividido por otro; asumiremos en lo que sigue que esto se ha hecho de tal manera que el coeficiente principal del denominador es positivo). Para que este sea un cuerpo ordenado, se debe asignar un orden compatible con las operaciones de suma y multiplicación. Ahora bien,${\displaystyle f>g}$si y solo si${\displaystyle fg>0}$, por lo que solo tenemos que decir qué funciones racionales se consideran positivas. Se dice que una función es positiva si el coeficiente principal del numerador es positivo. (Hay que comprobar que este ordenamiento está bien definido y es compatible con la suma y la multiplicación). Según esta definición, la función racional es positiva.${\displaystyle 1/x}$es positivo pero menor que la función racional${\displaystyle 1}$. De hecho, si${\displaystyle n}$es cualquier número natural, entonces${\displaystyle n(1/x)=n/x}$es positivo pero aún menos que${\displaystyle 1}$, sin importar cuán grande${\displaystyle n}$es. Por lo tanto,${\displaystyle 1/x}$es infinitesimal en este campo.

Este ejemplo se generaliza a otros coeficientes. Tomar funciones racionales con coeficientes racionales en lugar de reales produce un cuerpo ordenado no arquimediano numerable. Tomando los coeficientes como funciones racionales en una variable diferente, por ejemplo${\displaystyle y}$, produce un ejemplo con un tipo de orden diferente .

El campo de los números racionales dotado de la métrica p-ádica y los campos numéricos p-ádicos que son las completaciones, no poseen la propiedad arquimediana como campos con valores absolutos. Todos los campos con valores arquimedianos son isométricamente isomorfos a un subcampo de los números complejos con una potencia del valor absoluto usual. ^{[ 6 ]}

Cada campo ordenado linealmente${\displaystyle K}$contiene (una copia isomorfa de) los racionales como un subcampo ordenado, a saber, el subcampo generado por la unidad multiplicativa${\displaystyle 1}$de${\displaystyle K}$, que a su vez contiene los enteros como un subgrupo ordenado, que contiene los números naturales como un monoide ordenado . La incrustación de los racionales entonces proporciona una forma de hablar sobre los racionales, los enteros y los números naturales en${\displaystyle K}$. A continuación se presentan caracterizaciones equivalentes de campos arquimedianos en términos de estas subestructuras. ^{[ 7 ]}

1. Los números naturales son cofinales en${\displaystyle K}$. Es decir, cada elemento de${\displaystyle K}$es menor que algún número natural. (Esto no sucede cuando existen infinitos elementos). Por lo tanto, un cuerpo arquimediano es aquel cuyos números naturales crecen sin límite.
2. Cero es el ínfimo en${\displaystyle K}$del conjunto${\displaystyle \{1/2,1/3,1/4,\dots \}}$. (Si${\displaystyle K}$si contenía un infinitesimal positivo, sería una cota inferior para el conjunto, por lo que cero no sería la mayor cota inferior.
3. El conjunto de elementos de${\displaystyle K}$El conjunto entre los racionales positivos y negativos no es abierto. Esto se debe a que el conjunto consta de todos los infinitesimales, que es precisamente el conjunto${\displaystyle \{0\}}$cuando no hay infinitesimales distintos de cero, y en caso contrario es abierto, sin que exista ni un infinitesimal distinto de cero mínimo ni máximo. Obsérvese que en ambos casos, el conjunto de infinitesimales es cerrado. En el último caso, (i) todo infinitesimal es menor que todo racional positivo, (ii) no existe ni un infinitesimal máximo ni un racional positivo mínimo, y (iii) no hay nada intermedio. Por consiguiente, cualquier cuerpo ordenado no arquimediano es incompleto y disconexo.
4. Para cualquier${\displaystyle x}$en${\displaystyle K}$el conjunto de enteros mayores que${\displaystyle x}$tiene un elemento mínimo. (Si${\displaystyle x}$Si fuera una cantidad infinita negativa, cada número entero sería mayor que ella.
5. Cada intervalo abierto no vacío de${\displaystyle K}$contiene una razón. (Si${\displaystyle x}$es un infinitesimal positivo, el intervalo abierto${\displaystyle (x,2x)}$contiene infinitos infinitesimales pero ni un solo número racional.
6. Los racionales son densos en${\displaystyle K}$con respecto tanto al supremo como al infinitivo. (Es decir, cada elemento de${\displaystyle K}$es el supremo de algún conjunto de racionales, y el ínfimo de algún otro conjunto de racionales.) Así, un cuerpo arquimediano es cualquier extensión densa y ordenada de los racionales, en el sentido de cualquier cuerpo ordenado que incruste densamente sus elementos racionales.