espacio vectorial ordenado arquimediano

En matemáticas, específicamente en la teoría del orden , una relación binaria${\displaystyle \,\leq \,}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$sobre los números reales o complejos se llama arquimediano si para todos${\displaystyle x\in X,}$siempre que exista alguna${\displaystyle y\in X}$de tal manera que${\displaystyle nx\leq y}$para todos los enteros positivos${\displaystyle n,}$entonces necesariamente${\displaystyle x\leq 0.}$ Un espacio vectorial (pre)ordenado arquimediano es un espacio vectorial (pre)ordenado cuyo orden es arquimediano. ^{[ 1 ]} Un espacio vectorial preordenado${\displaystyle X}$se llama casi arquimediano si para todo${\displaystyle x\in X,}$siempre que exista un${\displaystyle y\in X}$de tal manera que${\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}$para todos los enteros positivos${\displaystyle n,}$entonces${\displaystyle x=0.}$^{[ 2 ]}

Un espacio vectorial preordenado${\displaystyle (X,\leq )}$con una unidad de pedido${\displaystyle u}$¿Arquímedes está preordenado si y solo si?${\displaystyle nx\leq u}$para todos los enteros no negativos${\displaystyle n}$implica${\displaystyle x\leq 0.}$^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio vectorial ordenado sobre los números reales de dimensión finita. Entonces el orden de${\displaystyle X}$es arquimediano si y solo si el cono positivo de${\displaystyle X}$está cerrado para la topología única bajo la cual${\displaystyle X}$es un TVS de Hausdorff (espacio vectorial topológico). ^{[ 4 ]}

Suponer${\displaystyle (X,\leq )}$es un espacio vectorial ordenado sobre los números reales con una unidad de orden${\displaystyle u}$cuyo orden es arquimediano y deje${\displaystyle U=[-u,u].}$ Luego, la función de Minkowski${\displaystyle p_{U}}$de${\displaystyle U}$(definido por${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$) es una norma llamada norma de unidad de orden . Satisface${\displaystyle p_{U}(u)=1}$y la bola de unidad cerrada determinada por${\displaystyle p_{U}}$es igual a${\displaystyle [-u,u]}$(eso es,${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}$^{[ 3 ]}

Cada retículo vectorial de orden completo es ordenado arquimediano. ^{[ 5 ]} Un retículo vectorial de dimensión finita de dimensión${\displaystyle n}$es arquimediano ordenado si y solo si es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con su orden canónico. ^{[ 5 ]} Sin embargo, un orden vectorial totalmente ordenado de dimensión${\displaystyle \,>1}$no puede ser ordenado arquimediano. ^{[ 5 ]} Existen espacios vectoriales ordenados que son casi arquimedianos pero no arquimedianos.

El espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$sobre los reales con el orden lexicográfico no es ordenado arquimediano ya que${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$por cada${\displaystyle r>0}$pero${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}$^{[ 3 ]}

• Propiedad arquimediana : propiedad matemática de las estructuras algebraicas. 
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​