El problema del ganado de Arquímedes

El problema del ganado de Arquímedes (o problema bovinum o problema Archimedis ) es un problema del análisis diofántico , el estudio de ecuaciones polinómicas con soluciones enteras . Atribuido a Arquímedes , el problema consiste en calcular el número de cabezas de ganado en un rebaño del dios Sol a partir de un conjunto de restricciones. El problema fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que contenía un poema de 44  versos, en la Biblioteca Herzog August de Wolfenbüttel , Alemania , en 1773. ^{[ 1 ]}

El problema permaneció sin resolver durante varios años, debido en parte a la dificultad de calcular los enormes números involucrados en la solución. La solución general fue hallada en 1880 por Carl Ernst August Amthor (1845–1916), director del Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Gimnasio de la Santa Cruz) en Dresde, Alemania. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Utilizando tablas logarítmicas , calculó los primeros dígitos de la solución más pequeña, demostrando que es aproximadamente7,76 × 10 ^{206 544} cabezas de ganado, mucho más de lo que podría caber en el universo observable . ^{[ 5 ]} La forma decimal es demasiado larga para que los humanos la calculen con exactitud, pero los paquetes de aritmética de precisión múltiple en las computadoras pueden escribirla explícitamente.

En 1769, Gotthold Ephraim Lessing fue nombrado bibliotecario de la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania, que contenía numerosos manuscritos griegos y latinos. ^{[ 6 ]} Unos años más tarde, Lessing publicó traducciones de algunos de los manuscritos con comentarios. Entre ellos se encontraba un poema griego de cuarenta y cuatro versos, que contenía un problema aritmético que pedía al lector que hallara el número de cabezas de ganado en el rebaño del dios del sol . Actualmente se le atribuye generalmente a Arquímedes. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El problema, tal como lo tradujo al inglés Ivor Thomas, dice: ^{[ 12 ]}

Si eres diligente y sabio, oh forastero, calcula el número de ganado del Sol , que una vez pastó en los campos de la isla trinacia de Sicilia, dividido en cuatro rebaños de diferentes colores, uno blanco como la leche, otro negro brillante, un tercero amarillo y el último moteado. En cada rebaño había toros, poderosos en número según estas proporciones: Entiende, forastero, que los toros blancos eran iguales a la mitad y un tercio de los negros junto con todos los amarillos, mientras que los negros eran iguales a la cuarta parte de los moteados y una quinta, junto con, una vez más, todos los amarillos. Observa además que los toros restantes, los moteados, eran iguales a una sexta parte de los blancos y una séptima, junto con todos los amarillos. Estas eran las proporciones de las vacas: Los blancos eran precisamente iguales a la tercera parte y una cuarta parte de todo el rebaño de los negros; Mientras que los negros eran iguales a la cuarta parte una vez más de los moteados y con ello una quinta parte, cuando todos, incluidos los toros, fueron a pastar juntos. Ahora los moteados en cuatro partes eran iguales en número a una quinta parte y una sexta parte del rebaño amarillo. Finalmente, los amarillos eran iguales en número a una sexta parte y una séptima parte del rebaño blanco. Si puedes decir con exactitud, oh forastero, el número de ganado del Sol, dando por separado el número de toros bien alimentados y de nuevo el número de hembras según cada color, no serías llamado inexperto o ignorante de números, pero aún no serás contado entre los sabios.

Pero ven, comprende también todas estas condiciones respecto al ganado del Sol. Cuando los toros blancos se unieron a los negros, se mantuvieron firmes, iguales en profundidad y anchura, y las llanuras de Trinacia, que se extendían a lo lejos en todas direcciones, se llenaron de su multitud. De nuevo, cuando los toros amarillos y moteados se reunieron en una sola manada, se dispusieron de tal manera que su número, comenzando desde uno, creció lentamente hasta completar una figura triangular, sin que hubiera toros de otros colores entre ellos ni faltara ninguno. Si eres capaz, oh forastero, de descubrir todas estas cosas y reunirlas en tu mente, dando todas las relaciones, partirás coronado de gloria y sabiendo que has sido juzgado perfecto en esta especie de sabiduría.

La primera parte del problema se puede resolver fácilmente estableciendo un sistema de ecuaciones . Si el número de toros blancos, negros, moteados y amarillos se escribe como${\displaystyle W,B,D,}$y${\displaystyle Y}$y el número de vacas blancas, negras, moteadas y amarillas se escribe como${\displaystyle w,b,d,}$y${\displaystyle y}$, el problema es simplemente encontrar una solución a

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}}$

que es un sistema de siete ecuaciones con ocho incógnitas. Es indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los enteros positivos más pequeños que satisfacen las siete ecuaciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}}$

lo cual es un total de50 389 082 ganado, ^{[ 13 ]} y las demás soluciones son múltiplos enteros de estos. Nótese que los primeros cuatro números son múltiplos del número primo p = 4657, y tanto p como p + 1 aparecerán repetidamente a continuación.

La segunda parte del problema establece que${\displaystyle W+B}$es un número cuadrado , y${\displaystyle Y+D}$es un número triangular . La solución general a esta parte del problema fue hallada por primera vez por A.  Amthor ^{[ 2 ]} en 1880. La siguiente versión fue descrita por H. W. Lenstra , ^{[ 5 ]} basándose en la ecuación de Pell : la solución dada anteriormente para la primera parte del problema debe multiplicarse por

${\displaystyle n={\frac {(x^{4658j}-x^{-4658j})^{2}}{4657\times 79072}},}$

donde j es cualquier entero positivo y

${\displaystyle x=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}},}$

De forma equivalente, elevar x al cuadrado da como resultado

${\displaystyle x^{2}=u+v{\sqrt {609\times 7766}},}$

dónde${\displaystyle (u,v)}$es la solución fundamental de la ecuación de Pell

${\displaystyle u^{2}-(609\times 7766)v^{2}=1.}$

El tamaño del rebaño más pequeño que podría satisfacer tanto la primera como la segunda parte del problema viene dado por j = 1 y es aproximadamente${\displaystyle 7.76\times 10^{206\,544}}$(Resuelto por primera vez por Amthor). Las computadoras modernas pueden imprimir fácilmente todos los dígitos de la respuesta. Esto se logró por primera vez en la Universidad de Waterloo , en 1965, por Hugh C. Williams , R.  A. German y Charles Robert Zarnke. Utilizaron una combinación de las computadoras IBM 7040 e IBM 1620. ^{[ 14 ]}

Las restricciones de la segunda parte del problema son sencillas y la ecuación de Pell que hay que resolver se puede dar fácilmente. Primero, se pregunta que${\displaystyle B+W}$debe ser un cuadrado , o utilizando los valores dados anteriormente,

${\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2}\times 3\times 11\times 29\times 4657)k,}$

por lo tanto uno debería establecer${\displaystyle k=(3\times 11\times 29\times 4657)q^{2}}$para algún entero q . Eso resuelve la primera condición. Para la segunda, se requiere que${\displaystyle D+Y}$debe ser un número triangular :

${\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.}$

Resolviendo para t ,

${\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.}$

Sustituyendo el valor de D + Y y k y hallando un valor de q² tal que el discriminante de esta ecuación cuadrática sea un cuadrado perfecto p² ^, se llega a resolver la ecuación de Pell ^.

${\displaystyle p^{2}-(2^{2}\times 609\times 7766\times 4657^{2})q^{2}=1.}$

El enfoque de Amthor, analizado en la sección anterior, consistía esencialmente en encontrar el más pequeño.${\displaystyle v}$de tal manera que sea enteramente divisible por${\displaystyle 2\times 4657}$La solución fundamental de esta ecuación tiene más de 100.000 dígitos decimales.

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• Dörrie, Heinrich (1965). "Archimedes' Problema Bovinum ". 100 Grandes Problemas de Matemáticas Elementales . Dover Publications . pp. 3–7 . 
• Williams, HC; German, RA; Zarnke, CR (1965). "Solución del problema del ganado de Arquímedes" . Matemáticas de la computación . 19 (92). Sociedad Matemática Americana : 671–674 . doi : 10.2307/2003954 . JSTOR 2003954 . 
• Vardi, I. (1998). "El problema del ganado de Arquímedes". American Mathematical Monthly . 105 (4). Mathematical Association of America: 305– 319. doi : 10.2307/2589706 . JSTOR 2589706 . 
• Benson, G. (2014). "Arquímedes el poeta: innovación genérica y fantasía matemática en el problema del ganado". Arethusa . 47 (2). Johns Hopkins University Press : 169–196 . doi : 10.1353/are.2014.0008 . S2CID 162393743 . 
• Krumbiegel (1880), "Argumentos sobre la atribución del problema del ganado"", Zeitschrift für Mathematik und Physik (Hist. litt. Abtheilung) , pág.  121

• Secuencia OEIS A096151 (Expansión decimal de la solución entera de 206545 dígitos al problema del ganado de Arquímedes) — Solución decimal completa al segundo problema
• Alex Bellos (24 de noviembre de 2019). "Holy Cow that's a Big Number" (video) . YouTube . Brady Haran . Archivado del original el 19 de diciembre de 2021. Recuperado el 25 de noviembre de 2019 .