Distribución del arcoseno

En teoría de la probabilidad , la distribución arcoseno es la distribución de probabilidad cuya función de distribución acumulativa involucra el arcoseno y la raíz cuadrada :

F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}

para 0 ≤ x ≤ 1, y cuya función de densidad de probabilidad es

f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}

en (0, 1). La distribución arcoseno estándar es un caso especial de la distribución beta con α = β = 1/2. Es decir, si $X$ es una variable aleatoria con distribución arcoseno, entonces $X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$ Por extensión, la distribución arcoseno es un caso especial de la distribución de Pearson de tipo I.

La distribución arcoseno aparece en la ley arcoseno de Lévy , en la ley arcoseno de Erdős y como la distribución a priori de Jeffreys para la probabilidad de éxito de un ensayo de Bernoulli . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} La densidad de probabilidad arcoseno es una distribución que aparece en varios teoremas fundamentales de caminatas aleatorias. En una caminata aleatoria de lanzamiento de moneda justa , la probabilidad para el tiempo de la última visita al origen se distribuye como una distribución arcoseno (en forma de U) . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} En un juego de lanzamiento de moneda justa de dos jugadores, se dice que un jugador está en ventaja si la caminata aleatoria (que comenzó en el origen) está por encima del origen. El número más probable de veces que un jugador dado estará en ventaja, en un juego de longitud 2 N , no es N . Por el contrario, N es el número menos probable de veces que el jugador estará en ventaja. El número más probable de veces en la delantera es 0 o 2 N (siguiendo la distribución arcoseno).

Generalización

Soporte limitado arbitrario

La distribución se puede ampliar para incluir cualquier soporte acotado de a ≤ x ≤ b mediante una simple transformación.

F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {xa}{ba}}}\right)

para a ≤ x ≤ b , y cuya función de densidad de probabilidad es

f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(xa)(bx)}}}}

en ( a , b ).

factor de forma

La distribución arcoseno estándar generalizada en (0,1) con función de densidad de probabilidad

f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}

También es un caso especial de la distribución beta con parámetros ${\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )$ .

Tenga en cuenta que cuando $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ La distribución arcoseno general se reduce a la distribución estándar mencionada anteriormente.

Propiedades

La distribución arcoseno es cerrada bajo traslación y escalado por un factor positivo.
- Si $X\sim {\rm {Arcoseno}}(a,b)\ {\text{entonces }}kX+c\sim {\rm {Arcoseno}}(ak+c,bk+c)$
El cuadrado de una distribución arcoseno sobre (-1, 1) tiene una distribución arcoseno sobre (0, 1).
- Si $X\sim {\rm {Arcoseno}}(-1,1)\ {\text{entonces }}X^{2}\sim {\rm {Arcoseno}}(0,1)$
Las coordenadas de puntos seleccionados uniformemente en un círculo de radio $r$ $r$ centrado en el origen (0, 0), tienen un ${\rm {Arcoseno}}(-r,r)$ ${\rm {Arcoseno}}(-r,r)$ distribución
- Por ejemplo, si seleccionamos un punto uniformemente en la circunferencia, $U\sim {\rm {Uniforme}}(0,2\pi )$ , tenemos que la distribución de la coordenada x del punto es $r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcoseno}}(-r,r)$ y su distribución de coordenadas y es ${\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcoseno}}(-r,r)}$

Función característica

La función característica de la distribución arcoseno generalizada es una función de Bessel de orden cero de primera especie, multiplicada por una exponencial compleja, dada por $e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {ba}{2}}t)$ . Para el caso especial de $b=-a$ , la función característica toma la forma de $J_{0}(bt)$ .

Distribuciones relacionadas

Si U y V son variables aleatorias i.i.d. uniformes (−π,π), entonces $\sin(U)$ , $\sin(2U)$ , $-\cos(2U)$ , $\sin(U+V)$ y $\sin(UV)$ todos tienen un ${\rm {Arcoseno}}(-1,1)$ distribución.
Si $X$ es la distribución arcoseno generalizada con parámetro de forma $\alpha$ apoyado en el intervalo finito [a,b] entonces ${\frac {Xa}{ba}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\$
Si X ~ Cauchy(0, 1) entonces ${\tfrac {1}{1+X^{2}}}$ tiene una distribución arcoseno estándar

Referencias

↑ Overturf, Drew; et al. (2017). Investigación de patrones de formación de haces a partir de arreglos de fase distribuidos volumétricamente . MILCOM 2017 - Conferencia de Comunicaciones Militares IEEE 2017 (MILCOM). pp. 817–822 . doi : 10.1109/MILCOM.2017.8170756 . ISBN 978-1-5386-0595-0.
↑ Buchanan, K.; et al. (2020). "Null Beamsteering Using Distributed Arrays and Shared Aperture Distributions". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 68 (7): 5353– 5364. Bibcode : 2020ITAP...68.5353B . doi : 10.1109/TAP.2020.2978887 .
↑ Feller, William (1971). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol. 2. Wiley. ISBN 978-0471257097.
↑ Feller, William (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol. 1 (3.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0471257080.

Lecturas adicionales

Rogozin, BA (2001) [1994], "Distribución del arcoseno" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[1] Overturf, Drew; et al. (2017). Investigación de patrones de formación de haces a partir de arreglos de fase distribuidos volumétricamente . MILCOM 2017 - Conferencia de Comunicaciones Militares IEEE 2017 (MILCOM). pp. 817–822 . doi : 10.1109/MILCOM.2017.8170756 . ISBN 978-1-5386-0595-0.

[2] Buchanan, K.; et al. (2020). "Null Beamsteering Using Distributed Arrays and Shared Aperture Distributions". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 68 (7): 5353– 5364. Bibcode : 2020ITAP...68.5353B . doi : 10.1109/TAP.2020.2978887 .

[Feller-3] Feller, William (1971). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol. 2. Wiley. ISBN 978-0471257097.

[WillyFeller1-4] Feller, William (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol. 1 (3.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0471257080.

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