Proyección de igual área

En cartografía , una proyección equivalente , autálica o de igual área es una proyección cartográfica que conserva la medida de área relativa entre todas las regiones del mapa. Las proyecciones equivalentes se utilizan ampliamente en mapas temáticos que muestran la distribución de escenarios como la población, la distribución de tierras agrícolas, las áreas forestales, etc., ya que un mapa de igual área no altera la densidad aparente del fenómeno representado.

Según el Teorema Egregium de Gauss , una proyección de igual área no puede ser conforme . Esto implica que una proyección de igual área distorsiona inevitablemente las formas. Aunque un punto o varios puntos, o un camino o caminos en un mapa, no presenten distorsión, cuanto mayor sea el área de la región representada, mayor y más evidente será la distorsión de las formas.

Para que una proyección cartográfica de la esfera tenga áreas iguales, sus fórmulas generadoras deben cumplir esta condición tipo Cauchy-Riemann : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi }$$ dónde${\displaystyle s}$es constante en todo el mapa. Aquí,${\displaystyle \varphi }$representa la latitud;${\displaystyle \lambda }$representa la longitud; y${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son las coordenadas proyectadas (planares) para un dado${\displaystyle (\varphi,\lambda)}$par de coordenadas.

Por ejemplo, la proyección sinusoidal es una proyección de áreas iguales muy simple. Sus fórmulas generadoras son: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\cdot \lambda \cos \varphi \\y&=R\cdot \varphi \end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle R}$es el radio del globo. Calculando las derivadas parciales, $${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi ,\quad {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=R\cdot \cos \varphi ,\quad {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=R,\quad {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=0}$$ y entonces $${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=R\cdot R\cdot \cos \varphi -0\cdot (-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi )=R^{2}\cdot \cos \varphi =s\cdot \cos \varphi }$$ con${\displaystyle s}$tomando el valor de la constante${\displaystyle R^{2}}$.

Para un mapa de igual área del elipsoide , la condición diferencial correspondiente que debe cumplirse es: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi \cdot {\frac {(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{2}}}}$$ dónde${\displaystyle e}$es la excentricidad del elipsoide de revolución.

Estas son algunas proyecciones que preservan el área:

• azimutal
  • Área igual azimutal de Lambert
  • Wiechel (pseudoazimutal)

• 

  Cónico
  • Albers
  • Proyección cónica de Lambert de áreas iguales

• 

  Pseudocónico
  • Buena
  • Bottomley
  • Werner

• 

  Cilíndrico (con margen de no distorsión)
  • Cilíndrico de Lambert de igual área (0°)
  • Behrmann (30°)
  • Hobo–Dyer (37°30′)
  • Gall–Peters (45°)

• 

  Pseudocilíndrico
  • Eumórfico de Boggs
  • Collignon
  • Eckert II , IV y VI
  • Tierra igualitaria
  • homolosina de Goode
  • Mollweide
  • Sinusoidal
  • Tobler hiperelíptico
• Otro
  • Eckert-Greifendorff
  • Proyección cuártica polar plana de McBryde-Thomas ^{[ 6 ]}
  • Martillo
  • Strebe 1995
  • Proyección de Snyder de áreas iguales , utilizada para cuadrículas geodésicas .

• latitud autálica
• Radio autálico
• Mapa equiareal (matemáticas)
• Sistema dinámico que conserva la medida
• Área de polígono geodésico