Área vectorial

En geometría tridimensional y cálculo vectorial , un vector de área es un vector que combina una cantidad de área con una dirección , representando así un área orientada en tres dimensiones.

Toda superficie delimitada en tres dimensiones puede asociarse con un vector de área único llamado área vectorial . Este es igual a la integral de superficie de la normal de superficie y es distinto del área de superficie usual ( escalar ) .

El área vectorial puede considerarse como la generalización tridimensional del área con signo en dos dimensiones.

Para una superficie plana finita de área escalar S y vector normal unitario ^ n , el área vectorial S se define como el vector normal unitario escalado por el área: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}S}$$

Para una superficie orientable S compuesta por un conjunto S _i de áreas de facetas planas , el área vectorial de la superficie viene dada por $${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}{\hat {\mathbf {n} }}_{i}S_{i}}$$ donde ^ n _i es el vector normal unitario al área S _i .

Para superficies curvas acotadas y orientadas que se comportan de forma suficientemente regular , podemos definir el área vectorial. Primero, dividimos la superficie en elementos infinitesimales, cada uno de los cuales es prácticamente plano. Para cada elemento infinitesimal de área, tenemos un vector de área, también infinitesimal. $${\displaystyle d\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}\ dS}$$ donde ^ n es el vector unitario local perpendicular a dS . La integración proporciona el área vectorial de la superficie. $${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

El área vectorial de una superficie puede interpretarse como el área proyectada (con signo) o "sombra" de la superficie en el plano en el que es mayor; su dirección viene dada por la normal de ese plano.

Para una superficie curva o facetada (es decir, no plana), el área vectorial es menor en magnitud que el área real de la superficie . Como ejemplo extremo, una superficie cerrada puede tener un área arbitrariamente grande, pero su área vectorial es necesariamente cero. ^{[ 1 ]} Las superficies que comparten un límite pueden tener áreas muy diferentes, pero deben tener la misma área vectorial; el área vectorial está completamente determinada por el límite. Estas son consecuencias del teorema de Stokes .

El área vectorial de un paralelogramo se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores que lo generan; es el doble del área vectorial del triángulo formado por los mismos vectores. En general, el área vectorial de cualquier superficie cuyo contorno consiste en una sucesión de segmentos de línea recta (análogo a un polígono en dos dimensiones) se puede calcular mediante una serie de productos vectoriales que corresponden a la triangularización de la superficie. Esta es la generalización de la fórmula del cordón de zapato a tres dimensiones.

Utilizando el teorema de Stokes aplicado a un campo vectorial elegido adecuadamente, se puede derivar una integral de contorno para el área vectorial: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$ donde ∂ S es el límite de S , es decir, una o más curvas espaciales cerradas orientadas . Esto es análogo al cálculo de área bidimensional utilizando el teorema de Green .

Los vectores de área se utilizan para calcular integrales de superficie , como por ejemplo, para determinar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie. El flujo viene dado por la integral del producto escalar del campo y el vector de área (infinitesimal). Cuando el campo es constante sobre la superficie, la integral se simplifica al producto escalar del campo y el área vectorial de la superficie.

• Bivector , que representa un área orientada en cualquier número de dimensiones.
• El teorema de De Gua , sobre la descomposición del área vectorial en componentes ortogonales.
• producto cruzado
• Normal de la superficie
• Integral de superficie